Vergleichbarkeit und Transitivität

06.02.2010, 22:20	Schneeflocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleichbarkeit und Transitivität Es geht um eine Aufgabe, die mich bei der Vorbereitung auf eine Klausur (Entscheidungstheorie) verzweifeln lässt. "Betrachten Sie Güterbündel mit jew. zwei Gütern X=(X0,X1) und folgende Präferenzrelation für dieses Güterbündel X "besser als oder mind. eben so gut wie" Y(ich weiß nicht wie ich das Zeichen einfügen kann, ich nehme einfach mal ein b dafür) <-> (X0 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Y0 oder X1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Y0) und (X0 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Y1 oder X1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Y1) Prüfen Sie, ob die Präferenzrelation die Axiome der Vergleichbarkeit und Transitivität erfüllt und zeichnen Sie die Bessermenge." Ich weiß, dass die Vergleichbarkeit allgemein X b Y oder Y b X lautet und die Transitivität: wenn X b Y und Y b Z dann ist X b Z. Aufgrund der "oder" und "und" Verknüpfungen weiß ich nicht wie ich an dieses Problem herangehen kann. Ich verstehe eine ähnliche "kleinere" Aufgabe schon nicht... X b Y <-> (X0 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Y0 und X1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Y1). Warum ist hier keine Vergleichbarkeit gegeben? Habt Ihr Tipps für eine Herangehensweise? Ich hoffe auf Eure Hilfe ...
07.02.2010, 17:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ eine lineare Ordnung ist, kann man auf den Paaren $\begin{eqnarray} X = (X_0,X_1) \end{eqnarray}$ die Maximumfunktion definieren: $\begin{eqnarray} \max X = \begin{cases} X_0 & \text{falls} \ \ X_0 \geq X_1 \\ X_1 & \text{falls} \ \ X_1 \geq X_0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Und jetzt kannst du dir überlegen, daß die Definition der neuen Relation $\begin{eqnarray} \unrhd \end{eqnarray}$ zu folgender Definition äquivalent ist: $\begin{eqnarray} X \unrhd Y \ \ \Leftrightarrow \ \ \max X \geq \max Y \end{eqnarray}$ So gewinnt das Ganze an Durchsichtigkeit.

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