Matrix Räumliche Abbildung

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Rudi Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Räumliche Abbildung
Hi ,

folgendes Aufgabe:

Beschreibe die räumlichen Abbildungen durch eine Matrix.

a) Orthogonalspiegelung an der Ebene E: x+y=0

b) Schrägspiegelung an der Ebene E: y+z=0

c) Orthogonalsprojektion auf die Eben E; x-y=0



Habe leider gar keinen Ansatzpunkt wie ich das nun angehen soll.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix Räumliche Abbildung
Fasse die Abbildungen als Endomorphismen des auf und wähle die kanonische Basis, also die Einheitsvektoren als angeordnete feste Basis. Dann schau dir die Bilder der Einheitsvektoren unter der Abbildung an und drücke sie als Linearkombination der kanonischen Basis aus. Die Matrix enthält dann in der i-ten Spalte die Skalare der Linearkombination des i-ten Einheitsvektors bzgl. der kanonischen Basis und beschreibt damit eindeutig die Abbildung.

Wäre schön, wenn du die Aufgabenstellung mit allen Bedingungen posten würdest oder ist sie das schon? Mir kommt das Thema aus der Linearen Algebra genau in meiner geposteten Form bekannt vor.
Rudi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Aufgabe wie sie im Buch steht.

Ich muss gestehen ich brauche das ganze etwas mehr in kleinere Schritte.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix Räumliche Abbildung
Okay ich versuch dir mal zu erläutern, worum es geht. Sei die angeordnete kanonische Basis des . Dann ist und es gilt wegen Linearität von . Man sieht also, dass die Abbildung eindeutig durch die Linearkombination der Bilder der Basis bestimmt ist. Somit bestimme die für die jeweilige Abbildung (Spiegelung, Projektion usw.) und stelle die dar als . Die gesuchte Matrix enthält dann in jeder Spalte die Skalare der Linearkombination des Bildes vom jeweiligen Einheitsvektor. smile
Rudi Auf diesen Beitrag antworten »

was wäre denn jetzt mein erster Schritt , erstmal irgendeinen Vektor aussuchen ?
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

schreib dir erstmal die angeordnete kanonische Basis des auf und nimm dir den ersten Basisvektor und schau dir z.B. für die erste Abbildung dessen Orthogonalspiegelung an der Ebene an. Den Vektor der dabei rauskommt drückst du als Linearkombination der gleichen Basis nämlich der kanonischen aus (Anmerkung: das ist nur hier so, weil man einen Endomorphismus mit kanonischer Basis betrachtet, sonst müsste man das Bild des Einheitsvektors, als Linearkombination der Basisvektoren des Bildvektorraumes ausdrücken). Die Skalare der Kombination schreibst du in die erste Spalte deiner Matrix, das wiederholst du für alle Basisvektoren und fertig ist die Matrix. Analog die anderen Abbildungen.

Mehr kann man zur Lösung der Aufgabe nun wirklich nich sagen.
 
 
Rudi Auf diesen Beitrag antworten »

also ich nehme den Vektor

wie spiegel ich den denn jetzt ?
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

ich mag nich die ganze Aufgabe für dich bearbeiten, im Prinzip ist das der Kern der Aufgabe herauszufinden, wie die Bilder der Basis unter den jeweiligen Abbildungen aussehen. Ich würde dir vorschlagen, versuch dir die Ebenen in nem räumlichen Koordinatensystem zu skizzieren und dann ist der Rest Geometrie. Freude
Rudi Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe halt die Beziehungen aus deinem vorherigen Text nicht.

schreib dir erstmal die angeordnete kanonische Basis des auf und nimm dir den ersten Basisvektor und schau dir z.B. für die erste Abbildung dessen Orthogonalspiegelung an der Ebene an. Den Vektor der dabei rauskommt drückst du als Linearkombination der gleichen Basis nämlich der kanonischen aus (Anmerkung: das ist nur hier so, weil man einen Endomorphismus mit kanonischer Basis betrachtet, sonst müsste man das Bild des Einheitsvektors, als Linearkombination der Basisvektoren des Bildvektorraumes ausdrücken). Die Skalare der Kombination schreibst du in die erste Spalte deiner Matrix, das wiederholst du für alle Basisvektoren und fertig ist die Matrix. Analog die anderen Abbildungen.


Ich weiß nicht was du mit Endmorphismus meinst

Ich weiß zwar was eine Linearkombination ist , diese habe ich jedoch noch nicht in diesem Gebiet angewendet. Ich habe erst 1Std. Matrizen Rechnung gehabt.

Und warum man die Skalare der Kombination bilden muss , habe ich auch noch nicht so richtig verinnerlicht.


Aber gut , danke für die Mühe
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Entschuldigung, da war ich wohl etwas auf Hochschulmathematik fixiert. In der Threadzuordnung steht ja "Schulmathematik" Hammer . Also Endomorphismus heißt nur lineare Abbildung von einen Vektorraum in den gleichen Vektorraum, is nur ne Bezeichnung. Also im Prinzip schaust du halt erstmal welcher Vektor rauskommt, wenn man orthogonol an der gegebenen Ebene spiegelt. Den müsstest du dann konkret angeben können mit , als Linearkombination bzgl. der Standardbasis ist dieser Vektor dann darstellbar als: , somit würde in der ersten Spalte der Matrix stehen , das gleiche für die anderen beiden Einheitsvektoren und du hast deine Matrix. Ich hoffe du kannst damit jetzt was anfangen smile
Rudi Auf diesen Beitrag antworten »

Super da ist schon bisschen klarer für mich

Nur 2 Fragen noch:

Warum muss ich die Spiegelung auch mit den anderen Basisvektoren machen ?

Wieso stellt die Linearkombination des ersten gespiegelten Basisvektor die erste Spalte der Matrix dar ?

grüße
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst du deshalb machen, weil die Matrix später die Funktion haben soll, dass man einen beliebigen Vektor aus dem nehmen kann, von rechts an die gefundene Matrix multipliziert und dann der Vektor gemäß der Abbildung (also ein gespiegelter etc.) ensteht. Da jeder Vektor eine Linearkombination der drei Einheitsvektoren ist, sind eben die Bilder der Einheitsvektoren das entscheidene an der Matrix zur Linearen Abbildung.

In den Zeilen der Matrix stehen praktisch die durch die Lineare Abbildung veränderten Einträge der Einheitsvektoren eben in der ersten Zeile die x-Koordinaten der Bilder der Einheitsvektoren, in der zweiten die y-Koordinaten usw. In den Spalten dementsprechend, in der ersten Spalte die Koordinaten des Bildes des ersten Einheitsvektors in der zweiten Spalte die des zweiten Basisvektors usw.
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