Komplexe Zahlen / alle Lösungen der Gleichung

07.02.2010, 14:12

Mathenoob12

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Komplexe Zahlen / alle Lösungen der Gleichung

Hallo,

ich bräuchte mal eure Hilfe bzgl. folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} z^{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Finden Sie alle Lösungen der Gleichung.

So nun habe ich mir gedacht, man muss hier die Moive-Formel anwenden, aber da bekomme ich ja nicht alle Lösungen der Gleichung heraus ?

Also ich weiß überhaupt gar nicht wie man da anfangen muss.
Nur durch das z^3 sollte es von z0 bis z3 also 4 Lösungen geben ?

Vielen Dank schonmal für Eure Hilfe.

Mfg Mathenoob12

07.02.2010, 15:48

WebFritzi

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RE: Komplexe Zahlen / alle Lösungen der Gleichung

Zitat:

Original von Mathenoob12
So nun habe ich mir gedacht, man muss hier die Moive-Formel anwenden

Richtig gedacht. Dafür musst du aber erstmal

$\begin{eqnarray*} -\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \end{eqnarray*}$

in Polardarstellung umrechnen.

07.02.2010, 17:22

Mathenoob12

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Alles klar, danke dir schonmal soweit.

Das habe ich raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(\gamma)=\frac{a}{r} =-\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\gamma)=\frac{b}{r} =-\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

So und nun weiß ich nicht mehr weiter. Die Formel von Moivre nützt mir ja nichts. Wie komm ich denn auf ALLE Lösungen der Gleichungen ? Mein Professor macht hier jedesmal irgendwas mit der E-Funktion ?

07.02.2010, 17:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathenoob12
$\begin{eqnarray*} \cos(\gamma)=\frac{a}{r} =-\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\gamma)=\frac{b}{r} =-\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn.

07.02.2010, 18:03

Mathenoob12

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Okay hier nocheinmal eine andere Aufgabe, die ich gerne zwischen schieben möchte um den Sachverhalt zu erklären. Da ich absolut keine Ahnung habe wie mein Professor auf diese Formel/Formen kommt.

Aufgabe: Berechnen Sie sämtliche Lösungen der folgenden Gleichungen und stellen Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene dar.

$\begin{eqnarray*} a) z^7 - (1+i) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^7=(1+i)=\sqrt{2} * e^{\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[14]{2} * e^{\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{7}}= \sqrt[14]{2} * e^{\frac{\pi + 8\pi k}{28}} k \in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{0} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{1}{28} \pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{9}{28} \pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{17}{28} \pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{25}{28} \pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{4} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{33}{28} \pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{5} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{41}{28} \pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{6} = \sqrt[14]{2} * e^{\frac{49}{28} \pi } \end{eqnarray*}$

So und ich dachte, dass meine Ausgangsaufgabe genau die gleiche Vorgehensweise hat wie diese Aufgabe OBWOHL NICHT dabei steht, dass es mit der Gaußschen Zahlenebene gelöst werden soll? Ist diese Annahme richtig?

Wie wird oben gezeigtes Verfahren angewendet?

07.02.2010, 18:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathenoob12
So und ich dachte, dass meine Ausgangsaufgabe genau die gleiche Vorgehensweise hat wie diese Aufgabe

Das ist auch richtig. Wenn du es auch falsch ausdrückst. Eine Aufgabe hat keine Vorgehensweise. Du meinst, dass man hier analog vorgeht.

Zitat:

Original von Mathenoob12
OBWOHL NICHT dabei steht, dass es mit der Gaußschen Zahlenebene gelöst werden soll?

Das steht bei der anderen Aufgabe auch nicht. Wie wäre es, wenn du ein bisschen auf Genauigkeit achtest?

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07.02.2010, 18:46

Mathenoob12

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Hm ich weiß nun leider aber immer noch nicht wie man auf diese Formeln oder
Ergbnisse kommt Hammer

Hammer

Die sqrt(2) kommt ja sicher aus der Formel für r=sqrt(a^2+b^2) aber wieso dann 14-te Wurzel aus 2 und wie kommt man auf die e-Funktion und die Werte ?

07.02.2010, 18:47

WebFritzi

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Du hast jetzt schon mindestens einmal die Formel von Moivre genannt...

08.02.2010, 14:17

Mathenoob12

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Okay habe nun die Formel von Moivre angewandt.
Ich habe nun folgendes herausgefunden. Ich hoffe das stimmt soweit.

Der Übersicht wegen schreibe ich die Aufgabe noch einmal hin:

$\begin{eqnarray*} z^{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2}i \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Die benutzte Formel: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} * \left(\cos(\frac{\gamma + 2k\pi }{n} ) + i \sin(\frac{\gamma + 2k\pi }{n} ) \right) \end{eqnarray*}$

Um das r zu berechnen: $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \end{eqnarray*}$

r = 1

$\begin{eqnarray*} \gamma = \tan(\frac{b}{a}) = \frac{\frac{\sqrt{3} }{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma = \arctan{\sqrt{3}} = 60° = \frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{1} * \left(\cos(\frac{\frac{1}{3}\pi + 2k\pi }{3}) + i * \sin(\frac{\frac{1}{3}\pi +2k\pi }{3} )\right) k \in \left(0,1,2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_{0} = \cos{\left(\frac{1}{9}\pi + 2 * 0\pi \right) } = \cos{\frac{1}{9}\pi} + i * \sin{\left(\frac{1}{9}\pi\right)} = 0,9999 + 6,09 * 10^{-3} i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_{1} = \cos{\left(\frac{1}{9}\pi + 2\pi \right) } = \cos{\frac{19}{9}\pi} + i * \sin{\left(\frac{19}{9}\pi\right)} = 0,9933 + 0,1154 i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_{2} = \cos{\left(\frac{1}{9}\pi + 4\pi \right) } = \cos{\frac{37}{9}\pi} + i * \sin{\left(\frac{37}{9}\pi\right)} = 0,9747 + 0,2235 i \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ? Und wie komme ich von dieser Darstellung auf die schon erwähnte e-Funktions-Darstellung , wie es mein Professor gemacht hat ?

Mfg

08.02.2010, 14:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathenoob12
$\begin{eqnarray*} \gamma = \tan(\frac{b}{a}) = \frac{\frac{\sqrt{3} }{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Du unterliegst hier einem folgenschweren Irrtum, was a und b sind. In welchem Quadranten liegt denn die komplexe Zahl?

08.02.2010, 15:20

Mathenoob12

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Liegt Sie denn nicht im 1. Quadraten ?

08.02.2010, 15:38

WebFritzi

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Das ist deine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2}i \right) = 0. \end{eqnarray*}$

Das ist gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} z^{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2}i. \end{eqnarray*}$

Darauf hatte ich dich bereits in meinem ersten Post aufmerksam gemacht. Du hast es scheinbar einfach ignoriert... Die Zahl rechts liegt NICHT im 1. Quadranten.

08.02.2010, 15:41

Mathenoob12

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Oder kann es sein, dass sich das Vorzeichen komplett ändert:

also von : $\begin{eqnarray*} z^3 + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{eqnarray*}$

zu : $\begin{eqnarray*} - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Und das würde ja im 4. Quadranten liegen und nach Formel:

für a<0,b<0 => arctan $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}-\pi \end{eqnarray*}$

08.02.2010, 15:41

Mathenoob12

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Genau. Sorry ein Tick zu spät smile

smile

Oh man dann wird der Winkel aber nicht so schön einfach 60° sein ^^

Dann sind alle Rechnungen falsch

08.02.2010, 15:43

WebFritzi

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Ja. Und im 4. Quadranten liegt sie auch nicht.

08.02.2010, 15:53

klarsoweit

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Damit jetzt keine Verwirrung entsteht:

Die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$ liegt im 4. Quadranten und für den Winkel gamma gilt: $\begin{eqnarray*} \gamma = 2 \pi - arctan\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ .

Demzufolge ist das falsch:

Zitat:

Original von Mathenoob12
für a<0,b<0 => arctan $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}-\pi \end{eqnarray*}$

08.02.2010, 16:07

Mathenoob12

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \gamma = 2 \pi - arctan\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ .

Das gibt es doch einfach nicht, wo hast du denn diese Formel her?

Ich habe bei Wikipedia geschaut und da wird gesagt

wenn a<0 und b<0 dann die Formel die ich oben geschrieben habe?

08.02.2010, 16:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Damit jetzt keine Verwirrung entsteht:

Die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$ liegt im 4. Quadranten

Für mich ist das der dritte... verwirrt

verwirrt

09.02.2010, 08:24

klarsoweit

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Ahh, auf welche Abwege ist mein Hirn geraten? verwirrt

verwirrt

OK. Für den 3. Quadranten gilt: $\begin{eqnarray*} \gamma = \pi + arctan(\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$ , sofern man einen Winkel zwischen 0 und 2*pi haben will. Ansonsten geht natürlich auch $\begin{eqnarray*} \gamma = arctan(\frac{b}{a}) - \pi \end{eqnarray*}$ .

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