G/U zyklisch -> G abelsch

07.02.2010, 15:29

Matthias21

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G/U zyklisch -> G abelsch

Frage:

Es sei $\begin{eqnarray*} ( G , \cdot ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ g \in G | g \cdot h = h \cdot g , \forall h \in G \right\} \end{eqnarray*}$ ist Untergruppe von G.

Zeige:

a) Falls G/U zyklisch , dann ist G abelsch.
b) Berechne |G:U| wenn G/U zyklisch.

Was ich bisher hab:

a) G/U sind ja alle Linksnebenklassen. Also sowas wie gU , g aus G , u aus U.
Wenn G/U zyklisch ist sieht das dann so aus: (?)
$\begin{eqnarray*} G/U = \left\{ e , gU, g^{2}U, ... , g^{k-1}U \right\} \end{eqnarray*}$
bzw sei $\begin{eqnarray*} h \in G/U : <h> = G/U \end{eqnarray*}$
wobei auch o(h) = |G/U| ist?^^...
Das wars auch schon mit dem Verständnis bis hier unglücklich

unglücklich

b) Müsste irgendwas mit Lagrange sein nehm ich mal an... da kann man sagen, dass |G/U| = |G| / |U| , was mich aber bisher noch garnicht weitergebracht hat ...

Hoffe ihr könnt mir etwas helfen smile

smile

07.02.2010, 15:57

Sly

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Versuch das Problem doch einmal umgekehrt anzugehen: Wenn G abelsch ist, was muss dann für U gelten? Was muss also gezeigt werden für G/U ? Und wie verhält sich der Index dann?

07.02.2010, 16:05

Matthias21

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Hm ok. Mal sehen... wenn G abelsch ist, dann ist U = G oder? Weil ich ja dann beliebige Elemente in G , zB g und h als g*h = h*g schreiben darf, und das ist ja dann die Bedingung für U erfüllt. Also U = G.

Muss ich dann zeigen, dass G/U = U ist? smile

smile

Was verstehst du denn unter einem Index? Ich nehm jetzt mal an dass du damit |G/U| meinst!^^
also nach dem Satz von Lagrange
|G| = |U| |G/U| ... hmpf

07.02.2010, 18:05

Sly

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Zitat:

Original von Matthias21
Hm ok. Mal sehen... wenn G abelsch ist, dann ist U = G oder? Weil ich ja dann beliebige Elemente in G , zB g und h als g*h = h*g schreiben darf, und das ist ja dann die Bedingung für U erfüllt. Also U = G.

richtig

Zitat:

Muss ich dann zeigen, dass G/U = U ist? smile

smile

Nein ganz falsch...G/U und U haben als Mengen auch wenig miteinander zu tun. Was ist denn der Quotient, wenn du eine Gruppe durch sich selbst teilst?

Zitat:

Was verstehst du denn unter einem Index? Ich nehm jetzt mal an dass du damit |G/U| meinst!^^
also nach dem Satz von Lagrange
|G| = |U| |G/U| ... hmpf

Richtig...und in diesem Kontext wäre das...? Im übrigen beantwortet dir das auch obige Frage.

07.02.2010, 20:22

Matthias21

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zu a)

Zitat:

Nein ganz falsch...G/U und U haben als Mengen auch wenig miteinander zu tun. Was ist denn der Quotient, wenn du eine Gruppe durch sich selbst teilst?

Kein Plan. Gruppen durcheinander teilen hab ich noch nie gesehn. Vielleicht meinst du ja Mengen ... Kann man dann Mengen durcheinander teilen? Kenn ich so jetzt auch nicht...^^
Also entweder bedeutet das dann U/U und das wäre dann ... Linksnebenklassen von U mit u aus U mit: u * U ... = U .... das führt mich wieder zu dem, was ich vorher gesagt hab unglücklich

unglücklich

zu b) Die Sache mit dem Lagrange.... Da muss ich etwas blind gewesen sein^^

Wir ham ja |G| = |U| |G/U|
bei mir dann hier: |U| = |U| |G/U| -> |G/U| = 1

08.02.2010, 14:02

Reksilat

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RE: G/U zyklisch -> G abelsch

Zitat:

Original von Matthias21
Wenn G/U zyklisch ist sieht das dann so aus: (?)
$\begin{eqnarray*} G/U = \left\{ e , gU, g^{2}U, ... , g^{k-1}U \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist genau der richtige Ansatz.

Jetzt nimm Dir zwei beliebige Elemente $\begin{eqnarray*} x,y\in G \end{eqnarray*}$ und zeige dann, dass sie miteinander vertauschen. Hier kannst Du verwenden, dass sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ jeweils in einer der Nebenklassen aus $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ liegen.

Zu b): korrekt.

Gruß,
Reksilat.

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08.02.2010, 15:00

Matthias21

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Danke euch beiden. Ihr habt mir sehr geholfen!

Ich schreibe später nochmal genau auf, wie diese Aufgabe zu lösen ist.

08.02.2010, 16:39

Matthias21

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Also, ich hoffe, dass das nicht ganz falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn G/U zyklisch ist sieht das dann so aus: (?)
$\begin{eqnarray*} G/U = \left\{ e , gU, g^{2}U, ... , g^{k-1}U \right\} \end{eqnarray*}$

Ich bins mal so angegangen. Kann man das so schreiben? Also im Prinzip seh ich ja , dass die Elemente aus G/U (also der Linksnebenklassen) aus einem g aus G und dem U bestehen... Wenn ich doch jetzt zeigen kann, dass sich 2 Elemente aus G/U vertauschen, dann vertauschen sich auch in G die Elemente?! (soweit meine Logik. Unten sieht man das ganze ausgeführt)

$\begin{eqnarray*} x , y \in G/U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x und y \end{eqnarray*}$ sind Linksnebenklassen.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists m,n \in \mathbb N : x=g^{m}U , y=g^{n}U , \forall g \in G \end{eqnarray*}$

Wir wissen aber, dass Linksnebenklassen = Rechtsnebenklassen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x * y = g^{m}U * g^{n}U = U * g^{m} * g^{n} * U = U * g^{m+n} * U = U g^{n} * g^{m} U = g^{n}U * g^{m}U = y * x \end{eqnarray*}$

08.02.2010, 16:50

Reksilat

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists m,n \in \mathbb N : x=g^{m}U , y=g^{n}U , \forall g \in G \end{eqnarray*}$

Der Allquantor " $\begin{eqnarray*} \forall g\in G \end{eqnarray*}$ " ist nicht richtig, gehört auch niemals ans Zeilenende und sowieso sind Quantoren überflüssig. unglücklich

unglücklich

Jedenfalls ist Deine Argumentation falsch, denn nur weil die Faktorgruppe abelsch ist, ist die ganze Gruppe noch lange nicht abelsch.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} G=\{id.,(13),(24),(13)(24),(1234),(1432),(12)(34),(14)(23)\} \end{eqnarray*}$ die Symmetriegruppe eines Quadrats.
$\begin{eqnarray*} Z(G)=\{id.,(13)(24)\} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} |G/Z(G)|=4 \end{eqnarray*}$ und insofern muss die Faktorgruppe abelsch sein. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist allerdings nicht abelsch - die Faktorgruppe ist hier aber auch nicht zyklisch.

Du benötigst also, dass die Faktorgruppe wirklich zyklisch ist und Du musst auch wirklich Elemente aus der Gruppe und nicht nur aus der Faktorgruppe betrachten.

08.02.2010, 17:12

Matthias21

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hm nagut.

dann nehm ich mir mal x,y aus G.

zu zeigen wäre immernoch: x*y = y*x

Wie verbrate ich jedoch jetzt das was du weiter oben gesagt hast? Also: Verwenden, dass x bzw. y in Nebenklassen von G/U liegen?

Was ich dazu weiss ist ja so:

xU wäre die zu x gehörende linksnebenklasse, yU die zu y.
In diesen Nebenklassen liegen natürlich alle Elemente, die die Bedingung des Normalteilers / Untergruppe U besitzen: gh=hg

überseh ich etwas. Oder verstehe ich etwas nicht?

08.02.2010, 17:21

Reksilat

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Du hast doch oben Deine Nebenklassen aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} G/U = \left\{ eU , gU, g^{2}U, ... , g^{k-1}U \right\} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch gesagt, dass das genau der richtige Ansatz ist und dass x und y ja irgendwo in diesen NK auftauchen müssen. Verwende das doch einfach mal.

08.02.2010, 17:33

Matthias21

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Ich bin mir da jetzt echt total unsicher. Ich blick das gerade garnichtmehr. Falls ich Mist schreibe, dann liegt das daran, dass ich die Sachen iwie sonst garnicht in Verbindung bringen kann....

also G/U wird ja durch ein Element aus G zusammen mit nem U erzeugt....

wenn ich jetzt sag dass das das x wäre und meine menge so aussehen würde:
$\begin{eqnarray*} G/U = \left\{eU=x^{k}U , xU, x^{2}U,...,x^{k-1}U \right\} \end{eqnarray*}$
dann könnte ich schreiben dass yU irgend ein x^{n}U ist ?
Dann hätt ichs ja.... aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das Unsinn ist unglücklich

unglücklich

zumal ja garnicht gesagt ist, dass das x das erzeugende ist, sondern nunmal ein x-beliebiges...
aber wie gesagt... ich seh da die verbindung nicht... wo jetzt das x und das y in meinem G/U sind.

08.02.2010, 17:44

Reksilat

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Verwende doch bitte die Vorschau. Wenn Du Deine Beiträge immer nachträglich editierst, weiß man nie, wann Du fertig bist.

Warum Du immer wieder meinem Ansatz ausweichst, verstehe ich auch nicht. Da ich bald los muss, hier noch ein letzter Tipp für heute:
Sei $\begin{eqnarray*} G/U=\{eU,gU,..,g^kU\} \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x,y\in G \end{eqnarray*}$ müssen nun also in diesen NK zu finden sein. Sei also $\begin{eqnarray*} x\in g^iU \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in g^jU \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$
Dann kann man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} x=... \end{eqnarray*}$ ?

Ciao,
Reksilat.

08.02.2010, 17:48

Matthias21

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$\begin{eqnarray*} x = g^{i} * g * h =g^{i+1} * h<br /> y = g^{j} * g * h = g^{j+1} * h \end{eqnarray*}$ ?

08.02.2010, 17:51

Reksilat

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Ist Dir aufgefallen, dass das h gar nicht definiert ist? Was soll ich mit einer solchen Aussage anfangen? traurig

traurig

08.02.2010, 17:55

Matthias21

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Jaja sorry... unglücklich

unglücklich

Ich dachte wenn x element g^i U mit g aus G und u aus U ist dann kann ich das u ja zu g*h umschreiben, wie es in U der Fall ist.

Dann stimmt das was ich für x und y gerade gesagt habe, also überhaupt nich?

08.02.2010, 18:01

Reksilat

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Zitat:

Ich dachte wenn x element g^i U mit g aus G und u aus U ist

Das ist der richtige Ansatz - von dem u hast Du vorher aber nichts geschrieben.
Also: $\begin{eqnarray*} x=g^iu_1 \end{eqnarray*}$ , für ein geegnetes $\begin{eqnarray*} u_1\in U \end{eqnarray*}$
Mach das auch für y, dann sollte es nicht mehr so schwer sein.

08.02.2010, 18:18

Matthias21

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$\begin{eqnarray*} x=g^iu_1 \end{eqnarray*}$ , für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} u_1\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=g^ju_2 \end{eqnarray*}$ , für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} u_2\in U \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x = g^i u_1 = g^i g h_1 = g^i h_1 g=h_1 g^{i} g = h_1 g g^{i} = u_1 g^{i} \end{eqnarray*}$ , h_1 aus G
$\begin{eqnarray*} y = g^j u_2 = g^j g h_2 = g^j h_2 g = u_2 g^{j} \end{eqnarray*}$ , h_2 aus G

ich glaube das stimmt so immernoch nicht.

08.02.2010, 18:22

Reksilat

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Ich frage mich, was Du immer mit diesem blöden h willst. Erstaunt2

Erstaunt2

Zitat:

Original von Matthias21
$\begin{eqnarray*} x=g^iu_1 \end{eqnarray*}$ , für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} u_1\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=g^ju_2 \end{eqnarray*}$ , für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} u_2\in U \end{eqnarray*}$

Das hier reicht vollkommen aus, um die Aufgabe zu lösen. Nimm $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ und forme das mit Hilfe der Eigenschaften der Elemente um zu $\begin{eqnarray*} yx \end{eqnarray*}$ .

Lass Dir auch mal etwas mehr Zeit vor dem nächsten Beitrag. Ich bin nämlich bis morgen Vormittag weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

09.02.2010, 10:55

Matthias21

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Ich glaube der Groschen ist gerade gefallen^^

Also mein Problem mit dem u war die ganze Zeit, dass ich es nicht geschafft habe das u_1 und u_2 zu tauschen.
Aber alle Elemente aus U haben ja die Eigenschaft:
1) Lässt du sie auf etwas aus G los, vertauschen sich die Elemente g und u , mit g aus G und u aus U
2) Lässt du ein Element u1 auf ein Element u2 los, mit u1 , u2 aus U, dann tauschen die sich auch.

liegt ja daran, dass U Untergruppe ist?

Also hab ich ja:

$\begin{eqnarray*} x * y = g^i u_1 * g^j u_2 = g^i u_1 u_2 g^j = g^i u_2 u_1 g^j = u_2 g^i g^j u_1 = u_2 g^j g^i u_1 = g^j u_2 g^i u_1 \end{eqnarray*}$
wobei ich benutzt habe, dass $\begin{eqnarray*} g^i g^j = g^{i+j} = g^{j+i} = g^{j} g^{i} \end{eqnarray*}$

edit: und das hintere ist dann ja $\begin{eqnarray*} y*x \end{eqnarray*}$
hatte ich wohl vergessen hinzuschreiben

09.02.2010, 11:02

Reksilat

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Das passt jetzt genau! Respekt

Respekt

Dass die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ mit allen anderen Elementen vertauschen, liegt aber einfach nur an der Definition der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ - dass das eine Untergruppe ist, ist dafür nicht von Belang.

Allerdings benötigen wir die Untergruppeneigenschaft, bzw. sogar die Normalteilereigenschaft von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , um überhaupt von einer Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ zu sprechen. Das wurde hier wohl aber schon vorausgesetzt.

btw.: Die Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wird allgemein als das Zentrum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Man schreibt auch $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ dafür.

Gruß,
Reksilat.

09.02.2010, 11:05

Matthias21

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Ok, dann an dieser Stelle:

a) Danke für deine Tipps, auch wenn ich sie manchmal nicht so befolgt habe, wie du es gemeint hast,
b) Danke für deine Geduld.

Schönen Tag!

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