nullstelle 4. grades

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07.02.2010, 20:18	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
nullstelle 4. grades hi leute, ich möchte gerne die Nullstellen von $\begin{eqnarray} f(x)= 15 x^4 - 75 x^2 +60 \end{eqnarray}$ bestimmen. wäre es nicht das beste wenn ich hier die polynomdivision durchführe? aber dann ist mein problem das ich noch keine nullstelle habe und nicht weiß wodurch ich teilen soll? oder soll ich zuerst: $\begin{eqnarray} 0=15x^4-75x^2+60 \end{eqnarray}$ \|: 15 $\begin{eqnarray} 0=x^4-5x^2+4 \end{eqnarray}$ aber dann komm ich ja auch nciht weiter...? lg dropzi
07.02.2010, 20:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades Substituiere $\begin{eqnarray} z := x^2 \end{eqnarray}$ , dann kannst du einfach die pq-Formel anwenden.
07.02.2010, 20:25	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades okay danke... und das kann man nciht irgendwie umformen? also das es einen anderen weg gibt?
07.02.2010, 20:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln Man kann, aber du willst es nicht.
07.02.2010, 20:36	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades ok. ich habe das jetzt mal probiert. dann bekomme ich als Nullstellen z1 = -0,8 und z2= -74,2 wenn ich dann resubstituieren möchte muss ich dann die beiden werte ^2 nehmen? also wäre das ergebnis dann x1= 0,64 und x2= 5505,64?
07.02.2010, 20:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades z = x^2, du hast z, nun musst du nach x umformen. Und deine Nullstellen sind falsch, sowohl für z als auch für x kommen ganze Zahlen raus.
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07.02.2010, 20:43	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades öhm achso.. ich habe x^2 jetzt immer durch z ersetzt also das da steht: $\begin{eqnarray} f(x)=15z^2-75z+60 \end{eqnarray}$ und dann habe ich die p,q formel angewedendet und die ergebnisse hoch 2 genommen, das war dann wohl falsch? ist das nicht so einfach?^^
07.02.2010, 20:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades Du musst die Nullstellen erst richtig ausrechnen (zeig deine Rechnung) und wenn du z=x^2 hast, musst du um von z auf x zu schließen die Wurzel ziehen und nicht quadrieren.
07.02.2010, 20:57	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades $\begin{eqnarray} f(x)=15x^4-75x^2+60 \end{eqnarray}$ z= x^2 $\begin{eqnarray} f(x)=15z^2+75z+60 \end{eqnarray}$ p,q-Formel: $\begin{eqnarray} f(x)=-75/2 +/- wurzel (-75/2)^2-60 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-75/2 +/- wurzel 1346,25 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -75/2 +/- 36,7 \end{eqnarray}$ z1=-0,8 und z2= -74,2 \| quadriert => x1=0,64 und x2=5505,64 das war meine rechnung...
07.02.2010, 20:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades Die pq-Formel erfordert dass der Koeffizient von x^2 genau 1 ist, die Gleichung muss erst normiert werden, also teil durch 15 wie du es oben schon gemacht hattest.
07.02.2010, 21:02	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstelle 4. grades achja mist. ok dann habe ich für z1= -1 und z2=-4 muss ich jetzt um auf x1 und x2 zu kommen die werte quadrieren oder aus denen die wurzel ziehen?
07.02.2010, 21:03	Sender	Auf diesen Beitrag antworten »
anders auf die Werte zu kommen geht schon, ist aber weitaus komplizierter.... $\begin{eqnarray} f(x)= 15 x^4 - 75 x^2 +60 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=x^4-5x^2+4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -4=x^4-5x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.25=x^4-5x^2+6.25 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.25=(x^2-2.5)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1.5=x^2-2.5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -1.5=x^2-2.5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2=1 \end{eqnarray}$ sorry, hab lange gebraucht, um das abzutippen...
07.02.2010, 21:10	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
oh danke das ist nett von dir. könntest du mir nur noch sagen, was ich machen muss wenn ich resubtituzieren möchte? also z=-1 und z=-4 muss ich das dann quadrieren um x1 und x2 rauszubekommen?
07.02.2010, 21:14	Sender	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke IfindU wird das noch zu Ende führen... will ihm da nicht weiter reinreden.
07.02.2010, 21:16	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
okiii^^ aber danke das du das abgetippt hast, abere das die substitution ist denke ich einfacher-wenn man es kann^^
07.02.2010, 21:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=15x^4-75x^2+60 \end{eqnarray}$ z= x^2 $\begin{eqnarray} f(x)=15z^2+75z+60 \end{eqnarray}$ Da hast du einen Vorzeichenfehler bei 75z, der am Ende das Problem mit dem Vorzeichen versucht. Du kriegst als Lösung, wie schon von Sender gesagt: z = 1 = x^2 und z = 4 = x^2 raus, überleg doch wie du aufs x kommst, wenn du die Wurzel ziehst oder quadrierst.
07.02.2010, 21:22	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
um von z aufs x zukommen ziehe ich die wurzel aus den z werten sodass sich x1=1 und x2=2 ergibt?
07.02.2010, 21:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
So, und jetzt überleg dir dass es 4 Lösungen geben wird - und das es noch eine andere Zahl zum Quadrat gibt die jeweils 4 und 1 ergibt.
07.02.2010, 21:28	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
-2 und -1?
07.02.2010, 21:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtisch, wie lauten also alle 4 Lösungen die die Ausgangsgleichung erfüllen?
07.02.2010, 21:33	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
x= 1 x= -1 x= 2 x= -2 ? (d.h. dass ich dem ergebnis von z (bei der Resubstitution) immer die Wurzel ziehe um auf die x-Werte zu kommen)?
07.02.2010, 21:35	Sender	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, bin mir ziemlich sicher, dass es einfacher ist. :P sieht man ja schon. ich habe den Term nur umgeformt, was allerdings kompliziert ist, deshalb benutzt man meißt die Substitution.. jdf so weit ich weiß. und substitution, wenn du nachdenkst, für was du z eingesetzt hast, dann bekommst du auch die Lösung weiter. Ist alles ganz logisch achja, was mir dabei noch einfällt, es gibt eine Formel (ich kenne sie unter dem Namen abc-Formel) mit der man $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray}$ nach x auflösen kann. $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\frac{p}{2a}\pm \sqrt{\frac{(b^2-4ac)}{(4a^2)}} \end{eqnarray}$ ein Blick in die Formelsammlung hilf auch
07.02.2010, 21:38	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke, abc-Formel auch Mitternachtsformel genannt danke!
07.02.2010, 21:44	Sender	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja, stimmt^^ habe die am Anfang als abc-Formel gelernt, hat sich so eingebrannt, obwohl ich Mitternachtsformel auch schon häufiger gehört habe. ich benutz die eben einfach lieber, als die pq-Formel, weil ich da nicht noch umformen muss. und blöd einsetzen muss ich bei beiden. was mir gerade auffällt- wieso habe ich in meiner Formelsammlung eingetlich /2a und /4a^2 anstatt /a und /2a^2 stehen tzzz^^ naja, müsste ja eh auf's selbe rauskommen.
07.02.2010, 21:46	dropzi	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe naja gut, das mit der Subsitution habe ich nun auch verstanden, habe vorher davon i.wie noch nie was von gehört, aber es ist sehr hilfreich^^

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