Konvergenzsätze

07.02.2010, 21:28

frieder

Konvergenzsätze

Hallo. Die Aufgabenstellung lautet:

"Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_0^n (1+ \frac{x}{n})^n e^{-2x} dx=1 \end{eqnarray*}$ "

Meine Überlegungen:
Es hat auf jeden Fall mit den Konvergenzsätzen zu tun und läuft darauf hinaus zu zeigen, dass man den limes ins Integral ziehen darf.
Erstmal weiß ich nicht genau, welchen Konvergenzsatz ich anwenden darf. Ich dachte zuerst, ich könnte den Satz von Lebesgue über monotone Konvergenz anwenden. Dazu müsste ich eine Folge von messbaren monoton wachsenden Funktionen haben. Aber $\begin{eqnarray*} f_n:=(1+x)^n e^{-2x} \end{eqnarray*}$ ist aber leider nicht monoton wachsend. Also ist der Satz nicht anwendbar, oder? Muss man hier dann den Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz anwenden?
Ansonsten ist mir auch noch unklar: In der Aufgabenstellung steht ja beim Integral "dx", aber in den Konvergenzsätzen steht überall immer " $\begin{eqnarray*} d\lambda \end{eqnarray*}$ " mit dem Lebesgue-Maß. Wo liegt da der Zusammenhang. Das verstehe ich noch nicht...

Angenommen, ich dürfte den limes ins Integral reinziehen und dx= $\begin{eqnarray*} d\lambda \end{eqnarray*}$ (.....??). Dann würde meine Rechnung so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_0^n (1+\frac{x}{n})^n e^{-2x}dx= \int_0^n \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n e^{-2x} dx = \int_0^n \lim_{n \to \infty} e^{-x} dx = \lim_{n \to \infty} -e^{-x}|_0^n = 1 \end{eqnarray*}$ . Ist die Richtung richtig oder quatsch?

Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar.
grüße, frieder

07.02.2010, 22:58

system-agent

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Das Integral so wie es da steht, ist das Riemannsche Integral. Aber daraus kriegst du ein Lebesgue-Integral mit
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-2x}\dd x=\int\limits_{\mathbb R}\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-2x}\chi_{[0,n]}(x)\dd \lambda \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \chi_{[0,n]} \end{eqnarray*}$ der charakteristischen Funktion von $\begin{eqnarray*} [0,n] \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n e^{-2x} \chi_{[0,n]} (x) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nun Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz. Überlege, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \leq e^x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Dann findest du eine passende Majorante & Grenzfunktion.

08.02.2010, 13:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von system-agent
Das Integral so wie es da steht, ist das Riemannsche Integral.

Das ist doch Unsinn. Man kann auch über kompakte Mengen Lebesgue-integrieren. Und zwar nicht unbedingt über den Umweg mit IR und der Indikatorfunktion, sondern auch direkt über die (Spur-)Sigma-Algebra auf dem kompakten Intervall.

Das Riemann-Integral hat hier nichts verloren.

08.02.2010, 13:40

system-agent

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Das ist wahr.
So wie ich das kenne, ist mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b...\dd x \end{eqnarray*}$ das Riemannsche Integral und mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \int...\dd\lambda \end{eqnarray*}$ das Lebesgue-Integral bezüglich dem Mass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gemeint.
Deshalb schrieb ich das.

08.02.2010, 13:55

WebFritzi

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Dann kennst du es falsch. Augenzwinkern

Man schreibt (eigentlich fast immer in der Literatur) "dx" und meint damit das Lebesgue-Integral.

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