Nullstellensatz

16.10.2006, 19:45

josi

nullstellensatz

ich hab da nochmal ne frage zum nullstellensatz.
ich soll nämlich den beweis verstehen und das tu ich nich ^^

also wir führen intervallschachtellung durch und erhalten einen, wert wo der graph von beiden seiten den grenzwert null hat, oder wie?

wir erhalten eine zahl wo die grenzwerte der beiden intervallgrenzen gleich null sind?

ich bitte um hilfen, denn die ganzen variablen in meinem mathebuch verwirren mich zutiefst...

16.10.2006, 20:04

Mathespezialschüler

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Abgetrennt hieraus.

Hallo!
Guck dir mal diesen Beweis an und versuche, ihn anschaulich nachzuvollziehen, indem du jeden Schritt darin am Funktionsgraphen darstellst.
Vielleicht hilft dir vor allem auch dieser Satz:

Zitat:

Originale von Leopold
Anschaulich bestimmt das Verfahren bei jedem Schritt dasjenige der beiden durch Halbierung entstehenden Intervalle des bisherigen Intervalls, das aufgrund der Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an den Intervallrändern die Nullstelle enthalten muß.

Und wenn du den Beweis nicht verstehst, dann sag uns, an welcher Stelle genau du Probleme hast! Dass du nämlich gar nichts von dem Beweis verstehst, glaube ich nicht.

Gruß MSS

16.10.2006, 20:47

josi

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den schau ich mir jetz an...

ok da fängsts schon wie im buch an:
was ist n?

ist das die anzahl der bisherigen intervallschachtellungen?

und das gebilde darunter sind warscheinlich die intervalle

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \begin{cases} \ \frac{x_n + y_n}{2} & \mbox{für} \ f \left( \frac{x_n + y_n}{2} \right) \geq 0 \\ \ x_n & \mbox{für} \ f \left( \frac{x_n + y_n}{2} \right) < 0 \end{cases} \, , \ \ \ y_{n+1} = \begin{cases} \ y_n & \mbox{für} \ f \left( \frac{x_n + y_n}{2} \right) \geq 0 \\ \ \frac{x_n + y_n}{2} & \mbox{für} \ f \left( \frac{x_n + y_n}{2} \right) < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

mir gehts um das erfassen, was die zeichen bedeuten.
ich lass mich schnell verwirren wenn man etwas nich mehr zeichnen kann.
das gebilde versteh ich z.B. nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{x_n + y_n}{2} \end{eqnarray*}$ das ist die intervallhälfte?
wieso zwei intervalle? und wieso fallunterscheidung?

aber ich weiß wie es weitergehen müsste.
wir schachteln das intervall immer weiter ein.
das intervall, dass eine vorzeichenänderung enthält(siehe grenzen),enthält auch die nullstelle.das ist also das interessante intervall.

dann steht da, dass wenn man unendlich viele schachtellungen durchgeführt hat, man einen wert erreicht, der gleich der linken und der rechten intervallgrenze ist.

$\begin{eqnarray*} \xi = \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n \end{eqnarray*}$

das hab ich bis dahin soweit verstanden, wenn ihr mir folgen konntet.

aber warum ist $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$ ?
im buch steht was mit stetigkeit..
$\begin{eqnarray*} f(\xi) = f(x_n) \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass x gegen die nullstelle geht?

diese vielen bezweichnungen...ich brauch ne legende.

16.10.2006, 21:10

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n ist die Teilungsanzahl. Du fängst an mit den Startwerten und erhöhst die Anzahl der Teilungen immer weiter. Das geschieht aber nach den Bedingungen, die fort aufgeführt sind. Du musst immer schauen, welches Vorzeichen der Funktionswert im Mittelpunkt des Intervalls hat. Je nachdem wählst du eine neue rechte oder linke Grenze und teilst weiter.

Am Ende bekommst du eine Folge aufsteigender Intervalle und absteigender Intervalle, die eben konvergieren (warum konvergieren sie?)

16.10.2006, 21:19

josi

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Zitat:

soweit hab ich das jetz verstanden

Zitat:

Am Ende bekommst du eine Folge aufsteigender Intervalle und absteigender Intervalle, die eben konvergieren (warum konvergieren sie?)

konvergieren heißt sie treffen sich im nullpunkt?
wie kann ein intervall absteigen/aufsteigen?

traurig

16.10.2006, 21:41

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hast du dir mal einen Graphen aufgzeichnet mit den Bedingungen im Nullstellensatz?

Du bekommst doch immer neue Intervallgrenzen, sodass du eine aufsteigende Folge von "unten" und eine absteigende von "oben" hast. Du willst dich doch der Nullstelle nähern. Und je öfter du teilst, desto mehr Grenzen bekommst du

16.10.2006, 21:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von josi

Zitat:

Am Ende bekommst du eine Folge aufsteigender Intervalle und absteigender Intervalle, die eben konvergieren (warum konvergieren sie?)

konvergieren heißt sie treffen sich im nullpunkt?
wie kann ein intervall absteigen/aufsteigen?

Nein, es heißt, sie nähern sich einem Punkt beliebig nahe und dieser Punkt ist für beide derselbe, und zwar die Nullstelle.
Ein Intervall kann nicht aufsteigen oder absteigen. Aber die Intervallgrenzen können auf- oder absteigen. Die linken und der rechten Intervallpunkte der Folge der Intervalle rücken immer näher aneinander. Das ist so,weil die Folge der linken Intervallpunkte monoton steigt, d.h. "aufsteigt" (sie werden immer größer), und die Folge der rechten Intervallpunkte monoton fällt, d.h. "absteigt" (sie werden immer kleiner). Sie laufen beide aufeinander zu, und zwar auf einen bestimmten Wert, nämlich auf die Nullstelle.

Zitat:

Original von josi
aber warum ist $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$ ?
im buch steht was mit stetigkeit..
$\begin{eqnarray*} f(\xi) = f(x_n) \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass x gegen die nullstelle geht?

Naja, wie du oben in der Fallunterscheidung siehst, gilt immer:

$\begin{eqnarray*} f(x_n)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y_n)<0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ beide gegen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gehen, folgt aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(\xi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y_n)\to f(\xi) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} f(x_n)\geq 0 \end{eqnarray*}$ muss dann auch der Grenzwert davon $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein, also:

$\begin{eqnarray*} f(\xi)\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Entsprechend muss wegen $\begin{eqnarray*} f(y_n)<0 \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} f(\xi)\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(\xi) \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ sein kann.

Zitat:

Original von josi
$\begin{eqnarray*} \frac{x_n + y_n}{2} \end{eqnarray*}$ das ist die intervallhälfte?
wieso zwei intervalle? und wieso fallunterscheidung?

Ja, das ist die Intervallhälfte. Wenn du ein Intervall halbierst, kommen zwei Intervalle raus. Wir wollen aber eins auswählen. Guck dir mal im Anhang das Bild unter $\begin{eqnarray*} 1. \end{eqnarray*}$ an. Du willst ja die Nullstelle einschachteln. Dazu musst du das linke Intervall auswählen, da dort die Nullstelle liegt. Jetzt ist nur die Frage, wie man das mathematisch aufschreibt?! Nun, im linken Bild ist $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{x_n+y_n}{2}\right)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_n)>0 \end{eqnarray*}$ . Wir wollen mit dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[x_n,\frac{x_n+y_n}{2}\right] \end{eqnarray*}$ weiter arbeiten. Der neue rechte Punkt ist also $\begin{eqnarray*} \frac{x_n+y_n}{2} \end{eqnarray*}$ . Da dieser $\begin{eqnarray*} y_{n+1} \end{eqnarray*}$ sein soll, gilt hier $\begin{eqnarray*} y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \end{eqnarray*}$ . Natürlich ist dann auch $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n \end{eqnarray*}$ , da der linke Intervallpunkt bleibt. Das gilt also bei

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{x_n+y_n}{2}\right)<0 \end{eqnarray*}$ .

Wie du siehst, ist das die untere Zeile der Fallunterscheidung.

Nun der 2. Fall des Anhangs. Da können wir im Prinzip nochmal genau dasselbe machen, nur das wir kleine Änderungen vornehmen:
Zur Einschachtelung der Nullstelle musst du hier das rechte Intervall auswählen, da dort die Nullstelle liegt. Hier gilt $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{x_n+y_n}{2}\right)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y_n)<0 \end{eqnarray*}$ . Wir wollen mit dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[\frac{x_n+y_n}{2},y_n\right] \end{eqnarray*}$ weiter arbeiten. Hier ist der neue linke Punkt $\begin{eqnarray*} \frac{x_n+y_n}{2} \end{eqnarray*}$ . Da dieser auch $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ sein soll, gilt hier $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \end{eqnarray*}$ . Natürlich ist dann auch $\begin{eqnarray*} y_{n+1}=y_n \end{eqnarray*}$ , da der rechte Intervallpunkt bleibt. Das gilt also bei

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{x_n+y_n}{2}\right)\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und das ist dann die obere Zeile der Fallunterscheidung.

Das ist im Prinzip alles, was hinter diesem Monstrum von Formeln steckt. Augenzwinkern

Gruß MSS

16.10.2006, 21:56

josi

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achso, die aufsteigende/absteigende folge is der verlauf der grenzen des intervalls.

und diese grenzen konvergieren gegen null, da dort der vorzeichenwechsel erfolgt!?

16.10.2006, 22:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von josi
und diese grenzen konvergieren gegen null, da dort der vorzeichenwechsel erfolgt!?

Nein, gegen die Nullstelle. Da ist der Vorzeichenwechsel! Also $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ sind diese Intervallgrenzen und die beiden Folgen konvergieren gegen die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ . Aber die sogenannten "Bildfolgen" $\begin{eqnarray*} (f(x_n)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f(y_n)) \end{eqnarray*}$ konvergieren gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , da sie gegen $\begin{eqnarray*} f(\xi) \end{eqnarray*}$ konvergieren, was ja $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Siehe auch meinem ausführlicheren, letzten Beitrag.

Gruß MSS

16.10.2006, 22:21

josi

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ok
ich glaub ich habs kappiert.

weil $\begin{eqnarray*} f(y_n)\to f(\xi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y_n)<0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f(\xi)\leq 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x_n)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(\xi) \end{eqnarray*}$

zeigt $\begin{eqnarray*} f(\xi)\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

daher haben wir $\begin{eqnarray*} 0\leq f(/xi)\leq 0 \end{eqnarray*}$

also ist es gleich null

kann man dass so sagen?

16.10.2006, 22:29

Mathespezialschüler

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Jap, genau so! Freude