Taylorpolynom

08.02.2010, 19:55

Dalice66

Taylorpolynom

Moin,

könnt ihr mal folgende Aufgabe kontrollieren?

Bestimmen sie das Taylo-Polynom vom Grad 3 (ohne Restglied) für die Funktion : f(x)= Arctan x zum Entwicklungspunkt

$\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+x^2)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-(1+x^2)^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=2(1+x^2)^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1)=\frac{1}{4} \pi , f'(1)=\frac{1}{2} ,f''(1)=-\frac{1}{4} ,f'''(1)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{3,0}=\frac{\pi }{4*0!}(x-1)^0+\frac{1}{2*1!} (x-1)^1-\frac{1}{4*2!}(x-1)^2+\frac{1}{4*3!}(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

08.02.2010, 20:06

Airblader

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Zweite Ableitung ist bereits falsch (innere Ableitung nicht vergessen!)

air

08.02.2010, 20:14

WebFritzi

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Deswegen ist die erste wahrscheinlich auch falsch. Lass mich raten... Die Funktion lautet f(x) = ln(1+x²).

08.02.2010, 20:17

Airblader

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Zitat:

Original von WebFritzi
Deswegen ist die erste wahrscheinlich auch falsch. Lass mich raten... Die Funktion lautet f(x) = ln(1+x²).

Er hat doch f(x) = arctan(x) geschrieben - und da stimmt die erste Ableitung. Augenzwinkern

air

08.02.2010, 22:18

Dalice66

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So...

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-(1+x^2)^{-2}*2x \end{eqnarray*}$

Nun müsste die Produktregel greifen...

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=(2(1+x^2)^{-3}*2x*2x)-((1+x^2)^{-2}*2) \end{eqnarray*}$

09.02.2010, 02:44

WebFritzi

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Genau.

@Air: Ja. Oh Gott. Asche auf mein Haupt. Hammer

09.02.2010, 10:18

Dalice66

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Also sieht das Polynom folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} T_{3,0,(x)}=\frac{\pi }{4*0!} *(x-1)^0+\frac{1 }{2*1!} *(x-1)^1-\frac{1 }{2*2!} *(x-1)^2+\frac{1 }{2*3!} *(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

09.02.2010, 14:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} T_{3,0,(x)} \end{eqnarray*}$

Ansonsten ist es richtig. Du solltest es nur noch ein wenig vereinfachen.

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