Induktionsaufgabe bitte um Hilfe!

08.02.2010, 20:06

fbi_1907

Induktionsaufgabe bitte um Hilfe!

Hallo Community,
komme bit dieser Aufgabe nicht weiter bitte um Hilfe:

2^n > n^2 n€N n>=5

1) n=5 ?
2^5=32
5^2=25

32>25

2) 2^n > n^2

3) n -> n+1

zu zeigen: 2^(n+1) > (n+1)^2

2^(n+1) = 2* 2^n > ?

weis nicht mehr weiter bitte um Hilfe.

08.02.2010, 20:41

Venus²

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RE: Induktionsaufgabe bitte um Hilfe!

Zitat:

Original von fbi_1907
zu zeigen: 2^(n+1) > (n+1)^2

2^(n+1) = 2* 2^n > ?

Ich würde nun die Voraussetzung verarbeiten. Dann würde ich verwenden, dass 2x=x+x ist. Dann würde ich eine neue Aussage verwenden, die ich auch erst noch mit Induktion beweisen würde. (Ich hoffe, ich habe hier keinen Fehler drin.)

08.02.2010, 20:46

fbi_1907

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kannst du das anhand der beispiel zeigen? So habe ich leider nichts verstanden sorry unglücklich

08.02.2010, 21:42

Venus²

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$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2\cdot 2^n > 2\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Hier wird die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} 2^n>n^2 \end{eqnarray*}$ verwendet.

Weiter $\begin{eqnarray*} 2\cdot n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ müsste für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ per Induktion gezeigt werden.

Zur Übung kannst du ja die andere Aussage $\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ nochmal beweisen.

08.02.2010, 22:13

fbi_1907

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wie kommst du hier von n^2 + n^2 auf n^2 + 2n +1? Woher kommen die?

08.02.2010, 22:28

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Venus²
$\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ müsste für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ per Induktion gezeigt werden.

$\begin{eqnarray*} n^2=\underbrace{n}_{\geq 5}\cdot n\geq 5\cdot n=\underbrace{4\cdot n}_{>2n} + \underbrace{n}_{>1}>2n+1 \end{eqnarray*}$

08.02.2010, 22:48

Venus²

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So geht es natürlich noch schneller smile

...

08.02.2010, 23:43

fbi_1907

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also ich habs glaube ich schon verstanden, wenn ich diese Aufgabe richtig gemacht habe:

Ist es richtig so?

2^n > n^3 n>=10

1) I.A.

n=10

2^10 > 10^3
1024 > 1000

2) I.V.

2^n > n^3

3) I.S.

n->n+1

zu zeigen: 2^(n+1) > (n+1)^3

2^(n+1)= 2*2^n > 2*n^3
= n^3 + n^3 > n^3 + 3n^2 + 3n + 1=(n+1)^3

ist es somit bewiesen?

09.02.2010, 00:10

Iorek

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Geht auf jedenfall in die richtige Richtung. Allerdings solltest du das natürlich noch formal richtig aufschreiben. Außerdem fehlt mir eine Begründung beim Schritt $\begin{eqnarray*} n^3+n^3> n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \end{eqnarray*}$ ; ich weiß zwar dass es stimmt, aber ich würden den Schritt nicht als trivial ansehen (die Begründung bzw. Abschätzung dafür sollte aber nicht viel mehr als ein Zweizeiler sein).

09.02.2010, 11:13

fbi_1907

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Zitat:

Original von Iorek
Geht auf jedenfall in die richtige Richtung. Allerdings solltest du das natürlich noch formal richtig aufschreiben. Außerdem fehlt mir eine Begründung beim Schritt $\begin{eqnarray*} n^3+n^3> n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \end{eqnarray*}$ ; ich weiß zwar dass es stimmt, aber ich würden den Schritt nicht als trivial ansehen (die Begründung bzw. Abschätzung dafür sollte aber nicht viel mehr als ein Zweizeiler sein).

2^n > n^3 n>=10

1) I.A.

n=10

2^10 > 10^3
1024 > 1000

2) I.V.

2^n > n^3

3) I.S.

n->n+1

zu zeigen: 2^(n+1) > (n+1)^3

2^(n+1)= 2*2^n > 2*n^3
= n^3 + n^3 > n^3 + 7n^2 =n^3+3n^2+4n^2 =2^n > n^3 n>=10

1) I.A.

n=10

2^10 > 10^3
1024 > 1000

2) I.V.

2^n > n^3

3) I.S.

n->n+1

zu zeigen: 2^(n+1) > (n+1)^3

2^(n+1)= 2* 2^n > 2*n^3
= n^3 + n^3 > n^3 + 7n^2
= n^3 + 3n^2 + 4n^2
= n^3 + 3n^2 + 3n^2 + n^2 > n^3 + 3n^2 + 3n + 1 =(n+1)^3

das hier ist die richtige Lösung. Ab n^3+ 7n^2 versteh ich die Lösung nicht also ich kanns nicht nachvollziehen!

09.02.2010, 11:25

fbi_1907

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n^3 + 7n^2
wie kommt man auf 7n^2?

09.02.2010, 12:00

tyger

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"n^3 + n^3 > n^3 + 7n^2"
ist für n>5 (auch für n=5) falsch.

09.02.2010, 13:17

fbi_1907

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Zitat:

Original von tyger
"n^3 + n^3 > n^3 + 7n^2"
ist für n>5 (auch für n=5) falsch.

wie falsch? Das ist die Lösung vom Professor. Ich verstehs aber nicht kanns nicht nachvollziehen!

09.02.2010, 13:31

klarsoweit

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Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n^3 \geq 7n^2 \end{eqnarray*}$ geht natürlich nur für n >= 7. Man multipliziert einfach die letzte Ungleichung mit n² und schon steht's da. Augenzwinkern

09.02.2010, 13:32

tyger

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Sorry,ich habe mich geirrt

09.02.2010, 16:26

fbi_1907

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Zitat:

Original von klarsoweit
Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n^3 \geq 7n^2 \end{eqnarray*}$ geht natürlich nur für n >= 7. Man multipliziert einfach die letzte Ungleichung mit n² und schon steht's da. Augenzwinkern

jaaa woher kommen die zahlen eigentlich her? Das mit 7n^2 usw. warum grad 7n^2 und nicht 6? Oder warum macht man das und warum machtman es nicht kürzer wie ich oben gemacht habe?

09.02.2010, 16:32

fbi_1907

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Zitat:

also nochmal:

= n^3 + n^3 > n^3 + 7n^2
= n^3 + 3n^2 + 4n^2
= n^3 + 3n^2 + 3n^2 + n^2 > n^3 + 3n^2 + 3n + 1 =(n+1)^3

ab hier versteh ich es nicht! wie kommt man auf n^3 + 7n^2 ????

09.02.2010, 18:22

Venus²

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Man macht gerade die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n^3\geq 7n^2 \end{eqnarray*}$ , weil man $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} 7n^2 \end{eqnarray*}$ durch genau 3 Summanden gleich $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ , 3 Summanden gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und einen Sumanden gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abschätzen kann.

Das ist das Ziel, damit man am Ende die Summanden zu $\begin{eqnarray*} (x+1)^3 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen kann.
Mit dieser Vorgehensweise ist die Abschätzung von Schritt zu Schritt trivial, man muss also nicht zusätzlich noch etwas zeigen. Dass $\begin{eqnarray*} n^3\geq 7n^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 7 \end{eqnarray*}$ gilt, sieht man sofort...

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