Näherungsbeziehung relativer Fehler

08.02.2010, 22:48

Stift82

Näherungsbeziehung relativer Fehler

Hallo,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Weisen SIe die Richtigkeit der Näherungsbeziehung nach!

$\begin{eqnarray*} \frac{dR}{R}=\frac{R^{'}-R }{R}=ca.-\frac{dI}{I}=-\frac{U/R_u}{I}=-\frac{R}{R_u}=-\frac{U^{2}/R_u }{UI}=-\frac{P_u}{P} \end{eqnarray*}$

(Das ist die Näherungsbeziehung für eine einfach aufgebaute, spannungsrichtige Schaltung in der Elektrotechnik.)

Nun weiss ich nicht, worauf der Professor hinaus will und wie ich richtig ansetzen muss bei dieser Aufgabe...

Wäre sehr schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Gruß

Stift 82

09.02.2010, 00:39

Abakus

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RE: Näherungsbeziehung relativer Fehler

Zitat:

Original von Stift82
$\begin{eqnarray*} \frac{dR}{R}=\frac{R^{'}-R }{R}=ca.-\frac{dI}{I}=-\frac{U/R_u}{I}=-\frac{R}{R_u}=-\frac{U^{2}/R_u }{UI}=-\frac{P_u}{P} \end{eqnarray*}$

Hallo!

Was sind die Voraussetzungen hier (außer dem Ohm'schen Gesetz)? Es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{dR}{R} = \frac{\frac 1 R \cdot dU - dI}{I} \end{eqnarray*}$

Die Preisfrage ist jetzt, wieso der Minuend gegenüber dem Subtrahend im Zähler vernachlässigt werden kann.

Grüße Abakus smile

09.02.2010, 18:10

Stift82

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Hallo Abakus,

vielen Dank für deine Antwort. In der spannungsrichtigen Schaltung strebt der Wert von dU gegen Null. Dann kann ich ihn hier vernachlässigen.

Doch wie komme ich zu deiner Formel?

Habe schonmal versucht:

$\begin{eqnarray*} R'= \frac{U}{I-dI} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\frac{U}{I} \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} \frac{R'-R}{R} \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

Wie bringe ich denn dU hier richtig in meine Formel?

Gruß

Stift82

09.02.2010, 20:29

Abakus

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RE: Näherungsbeziehung relativer Fehler
Mit dem Ohm'schen Gesetz und der Quotientenregel bin ich dahin gekommen, schau:

$\begin{eqnarray*} \frac{dR}{R} = d(\frac U I)~ :~ {R} = \frac{dU \cdot I - dI \cdot U}{I^2}~:~ {\frac U I}~=~ \frac{\frac 1 R \cdot dU - dI}{I} \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt dU sehr klein ist, passt es ja.

Mit dem $\begin{eqnarray*} R' \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} R_u \end{eqnarray*}$ kann ich nichts anfangen, was bedeutet das genau hier?

Grüße Abakus smile

09.02.2010, 21:16

Stift82

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Hallo Abakus,

so hast du das gemacht. Da hätte ich lange probieren können. Augenzwinkern

R' steht für den gemessenen Wert
R_u = Widerstand des Voltmeters
U'=U+dU
I'= I+dI

U ist in diesem Fall der Spannungsabfall über dem gesuchten Widerstand.

dU = ist der Spannungsabfall über dem Amperemeter in der stromrichtigen Schaltung
dI = ist der Zweigstrom durch das Voltmeter in der spannungsrichtigen Schaltung

Ich habe dir mal eine Kopie der Schaltungen angehangen mit allen Bezeichnungen.

Gruß

Stift82

09.02.2010, 21:37

Abakus

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Es geht also um Strom-/Spannungsmessung, ok. In der Gleichungskette steckt das Ohm'sche Gesetz bestimmt noch ein paarmal drin, denke ich.

Steckst du jetzt noch wo fest?

Grüße Abakus smile

09.02.2010, 23:35

Stift82

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Hallo Abakus,

deine Ableitung habe ich nachvollzogen bekommen, danke dir.

Bei einer Aufgabe mit ähnlichen Charakter hänge ich allerdings wieder fest.

Wäre lieb, wenn du auch hier nochmal einen Tipp schreiben könntest.

Hier mal die Aufgabe:

"Zur Widerstandsbestimmung kann man auch nacheinander I' und U' am unbekannten Widerstand R messen. Dazu wird der unbekannte Widerstand R aus einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand Ri gespeist und nacheinander werden Strom I' mit einem Amperemeter mit dem Innenwiderstand RI und Spannung U' mit einem Voltmeter mit dem Innenwiderstand Ru gemessen. Wenn die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \frac{RI}{Rie}=\frac{R}{Ru} \end{eqnarray*}$

erfüllt ist, wird R fehlerfrei bestimmt. Leiten Sie diese Gleichung aus R'=U'/I' her!"

Nun mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:

Man hat für diese Gleichung die Schaltung etwas umgeformt mit der Zweipoltheorie, d.h.

die Formeln lauten dann:

$\begin{eqnarray*} U'=\frac{Ru}{Rie+Ru} \times Uqe \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I' =\frac{Uqe}{Rie+RI} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R'= dR+R \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das einfach in die Formel eingesetzt und etwas umgestellt bis:

$\begin{eqnarray*} R'\left(1+\frac{Ru}{Rie} \right)=Ru\left(1+\frac{RI}{Rie} \right) \end{eqnarray*}$

Leider ist im Netz nicht viel zu finden zu der Materie...

Gruß

Stift82

10.02.2010, 22:17

Abakus

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Ich würde versuchen, die Gleichung durch Umformung in den gewünschten Teil plus eines sonstigen Terms zu überführen.

Danach bleibt zu zeigen, dass der sonstige Term gleich Null ist: ggf. musst du dazu noch einige Informationen über die Schaltung da reinstecken.

Grüße Abakus smile

10.02.2010, 23:43

Stift82

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Hallo Abakus,

vielen Dank für deinen Tipp. Habe nun festgestellt, dass die Aufgabe wohl anders gemeint ist.
Werd mal schauen....

Gruß

Stift82

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