[Artikel] Lotabstand Punkt - Gerade

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[Artikel] Lotabstand Punkt - Gerade
Frage:

Ich habe hier eine Aufgabe, in der ein Punkt und eine Gerade gegeben sind:



Wie berechne ich den Lotabstand?

[attach]13369[/attach]

Grundsätzliches:
Diese Aufgabe läßt sich auf mehrere Arten lösen, vier davon sollen im Folgenden dargestellt werden. Die beiden ersten sind auch in anwendbar, die zwei letzten nur in .

Die Antworten sind eine Zusammenfassung und Bearbeitung von Beiträgen der User Mythos, Leopold, riwe und sqrt(2); hiermit sei ihnen auch der Dank für ihre Ideen und Anregungen ausgesprochen, die sie zu diesem Artikel unbewusst mit ihrer Helferarbeit beigesteuert haben.

Linkliste der Antworten:

Weiterführende Links:
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Skalarprodukt 1
Skalarprodukt:
Sehen wir uns zunächst das Wichtigste des Skalarprodukts zweier Vektoren in aller Kürze einmal an.

Es sei der Punkt des Stützvektors der Geraden und der Richtungsvektor der Geraden. Dann gilt für das Skalarprodukt von und :



Sehen wir jetzt auf die Skizze und lösen das rechtwinklige Dreieck, das aus , der Seite und dem gesuchten Abstand besteht, nach auf.



Daraus folgt:



Jetzt können wir das rechtwinklige Dreieck mit Pythagoras nach auflösen, denn wir haben die Hypothenuse ja gegeben und die Kathete soeben bestimmt.





Ergibt die Lösung:
 
 
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Skalarprodukt 2
Zweite Möglichkeit mit Skalarprodukt:
Ein Wesensmerkmal des Skalarprodukts besteht ja darin, dass die Verknüpfung Null ergibt, wenn die zwei Vektoren rechtwinklig zueinander stehen.
Der eine Vektor sei der Richtungsvektor unserer Geraden, der andere ein Vektor von Punkt zu einem variablen Punkt auf der Geraden. Dieser variable Punkt soll so lange verschoben werden, bis er mit dem Lotfußpunkt des Lotes auf zusammenfällt.
Wir drücken diesen Punkt durch die in der Angabe schon genannte Parametergleichung der Geraden aus, berechnen daraus den Vektor zum Punkt P und verknüpfen diesen skalar mit dem Richtungsvektor der Geraden. Mathematisch ausgedrückt:



Nach Auflösung der eckigen Klammer:



Und aufgelöst in eine lineare Gleichung mit der Variablen :



Damit kann der Lotfußpunkt auf der Geraden berechnet werden:



Der gesuchte Abstand ist der Betrag des Vektors L nach P:
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Vektorprodukt
Vektorprodukt:
Die zweite Möglichkeit geht vom Vektorprodukt aus (nach Plücker).

[attach]13389[/attach]

Das VP hat als Ergebnis einen Vektor, der zu beiden Ausgangsvektoren rechtwinklig steht, und dessen Betrag der Fläche des Parallelogramms entspricht, das von den beiden Vektoren definiert wird (siehe Skizze).
Unser gesuchter Abstand würde in der Skizze der Höhe auf entsprechen.
Da die Fläche dieses Parallelogramms z. B. ist, haben wir die Formel für den Lotabstand schon beinahe vorliegen. Wir brauchen nur den Betrag des Ergebnisvektors des VP durch den Betrag des entsprechenden Vektors zu dividieren.





Lösung:

Zitat:
Original von Leopold
Man beachte die formale Analogie zur Hesseschen Normalform.

In unserer Formel ist
- im Zähler der Betrag eines Vektorprodukts,
- im Nenner der Betrag eines der beiden Vektoren.

Die HNF hat
- im Zähler den Normalenvektor (in diesem Fall einer Ebene), durch Skalarprodukt verknüpft mit einem variablen Vektor (x, y, z) und eine Konstante, die mit dem Abstand der Ebene vom Nullpunkt zusammenhängt,
- im Nenner den Betrag des Normalenvektors.

Für diese Aufgabe sähe sie so aus:



Da die Methode über HNF aber etwas umständlich für diese Aufgabenstellung ist, möchte ich nicht näher darauf eingehen, zumal ich im Folgenden ja einen Lösungsweg mit einer Hilfsebene vorstelle.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfsebene
Methode mit Hilfebene:
Diese Lösungsmöglichkeit hat den Mehraufwand, dass auch der Lotfußpunkt berechnet werden muss; dies kann aber manchmal sogar erwünscht sein.
Wir erstellen eine Hilfsebene, die
  • normal zur Geraden ist,
  • durch den Punkt geht und
  • dessen Schnittpunkt mit den Lotfußpunkt ergibt.

Für eine Ebene braucht man - wir bleiben bei der Parameterform - zwei Vektoren, die die Ebene aufspannen. Da wir natürlich von unseren Angaben ausgehen müssen, fällt uns sofort das Vektorprodukt ins Auge, und zwar - also die gleiche Kombination wie vorhin. Dieser Ergebnisvektor steht einmal auf und vor allem auf die Gerade normal.

Für den zweiten Vektor bietet sich ebenfalls ein Vektorprodukt an, nämlich .
Die Ebene sieht dann in der Parameterform folgendermaßen aus.



Um die Ebene mit zu schneiden, gehen wir von der Überlegung aus, dass der Stützvektor auf den Schnittpunkt beide Gleichungen erfüllen muss, so dass wir die jeweils rechte Seite der Parametergleichungen von Ebene und Gerade gleichsetzen können. Damit erhalten wir folgende Gleichung:



Wir gehen wie üblich vor und lösen in ein lineares Gleichungssystem auf.



Nach Anwendung irgendeines gängigen Verfahrens, die ja zur Genüge bekannt sein dürften (Einsetzen, Gleichsetzen oder Addition/Subtrakton), erhalten wir für die Parameter und den Schnittpunkt (= Lotfußpunkt) als Lösungen:



Der gesuchte Abstand ist jetzt der Betrag des Vektors L nach P, also
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