gebrochene rationale Funktionen

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09.02.2010, 15:52	Regenbogengold	Auf diesen Beitrag antworten »
gebrochene rationale Funktionen Hallo Ich soll diese Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{4x³+tx-t³}{x} \end{eqnarray}$ auf Extremstellen untersuchen. Außerdem soll ich herrausfinden ob auch ein globales Minumum oder Maximum vorliegt. Ich habe also erstmal abgeleitet. 1. Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{8x³-t³}{x²} \end{eqnarray}$ 2. Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{8x³-2t³}{x³} \end{eqnarray}$ So. Nun habe ich die 1. Ableitung = 0 gesetzt. Soweit ist das doch richtig oder? dafür habe ich dann raus.. $\begin{eqnarray} -\sqrt{\frac{t³}{8} } \vee \sqrt{\frac{t³}{8} } \end{eqnarray}$ Aber wie nun weiter? Muss ich das jetzt in die zweite Ableitung setzten? Oder erstmal gucken ob t kleiner oder größer ist als null? Hilfe
09.02.2010, 15:56	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
In der 1. Ableitung ist schon ein Vorzeichenfehler.
09.02.2010, 16:00	regenbogengoldd	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das denn dann überhaupt lösbar? wenn ich dann.. $\begin{eqnarray} \frac{8x³+t³}{x²} \end{eqnarray}$ gleich null setzte.. komme ich ja auf: $\begin{eqnarray} \frac{-t³}{8} = x³ \end{eqnarray}$
09.02.2010, 16:08	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kannst du noch die 3. Wurzel ziehen. Und warum sollte das nicht lösbar sein?
09.02.2010, 16:16	regenbogengelld	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte mann kann von negativen Ergenissen keine Wurzel ziehen? Und was mache ich dann? In die zweite Gleichung einsetzen? Also: $\begin{eqnarray} \frac{8 \sqrt[3]{\frac{-t³}{8}^{3}} (-2t) } {\frac{-t³}{8}^{3} } \end{eqnarray*}$
09.02.2010, 16:24	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Man kann davon keine Wurzeln ziehen, aber das gilt für die Quadratwurzel (und auch die 4., 6., 8. Wurzel usw.). Jedoch haben wir hier die 3. Wurzel, und da ist das erlaubt. Denn es ist ja auch $\begin{eqnarray} (-2)^3 = -8 \end{eqnarray}$ 2. Es muss nicht zwangsweise negativ unter der Wurzel werden. Betrachte z. B. $\begin{eqnarray} \sqrt{-a} \end{eqnarray}$ Diese Wurzel scheint auf den 1. Blick undefiniert zu sein, aber nur für a > 0. Für a < 0 ist sie auf jeden Fall gültig. Bsp: a = -4 $\begin{eqnarray} \sqrt{-(-4)} = \sqrt 4 = 2 \end{eqnarray}$ 3. Du kannst den x-Wert der Extremstelle noch stark vereinfachen. Beachte dazu: $\begin{eqnarray} 8 = 2^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -t^3 = (-t)^3 \end{eqnarray}$ Wenn du 3. machst, wird dir auch das einsetzen in die 2. Ableitung leichter fallen.
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09.02.2010, 16:50	regenbogengeeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst die Wurzel fällt sowieso weg? Also: $\begin{eqnarray} \frac{-t³-2t }{\frac{-t³}{8} } \end{eqnarray}$ ? Und dann.. ? Wenn t<0 dann ist der Bruch ja >0 .. also ein Minimum.. Wenn t>0 dann ist der Bruch ja auch positiv.. also wieder Minimum Aber wie ist das denn mit global?
09.02.2010, 16:58	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{\frac{-t^3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(-t)^3}{2^3}} = \frac{-t}{2} \end{eqnarray}$ Setzt man das in die 2. Ableitung ein kommt man auf $\begin{eqnarray} f''(\frac{-t}{2}) = \frac{-t^3-2t³}{\frac{-t^3}{8}} \end{eqnarray}$ (Du hattest die hoch 3 vergessen) Löse das mal weiter auf.
09.02.2010, 17:11	regenebogengeeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn dann auf $\begin{eqnarray} \frac{\frac{-t}{-2t³}}{\frac{-t³}{8} } \end{eqnarray}$ wenn du $\begin{eqnarray} \frac{-t}{2} \end{eqnarray}$ einsetzt? Also ich komme dann auf 24 ? Kann das stimmen?
09.02.2010, 17:18	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn da aufgeschrieben? Na wie komme ich wohl darauf? Ich hab einfach $\begin{eqnarray} f''(\frac{-t}{2}) \end{eqnarray}$ gebildet. 24 ist richtig, was folgt daraus?
09.02.2010, 17:54	regenbogengeeld	Auf diesen Beitrag antworten »
Es liegt also ein lokales Minimum vor, da f''(x) >0 Aber ich soll ja ein globales Extrema berechnen.. Ist das das selbe?
09.02.2010, 18:17	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal ein paar Graphen: Ist der Definitionsbereich für x eingeschränkt? Wenn nicht gibt es keine globalen Extrema wie man sieht ( $\begin{eqnarray} W = \mathbb R \end{eqnarray}$ ).

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