Basiswechsel

09.02.2010, 22:58

axiom_09

Basiswechsel

Hallo allerseits, ich wollte fragen, ob mir jemand evt. bei der folgenden Aufgabe helfen könnte? Ich komme da leider irgendwie nicht weiter und weiss auch nicht, wie ich da anfangen soll. Vorallem schreiben wir übermorgen eine Klausur in LinA und würde mich deshalb freuen, wenn irgendjemand mir dabei behilflich sein kann.

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A eines Endomorphismus $\begin{eqnarray*} f :\mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} e_{1}, e_{2}, e_{3} \end{eqnarray*}$ . Berechne die Matrix von f bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} e_{1}', e_{2}', e_{3}' \end{eqnarray*}$ , deren Vektoren durch ihre Koordinaten in der Basis $\begin{eqnarray*} e_{1}, e_{2}, e_{3} \end{eqnarray*}$ gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_{1}' = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_{2}' = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_{3}' = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass man hier bestimmt die Abbildungsmatrix sucht und kann es vielleicht sein, dass ich die Bilder der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} e_{1}, e_{2}, e_{3} \end{eqnarray*}$ berechnen muss?

Vielen Dank im Vorfeld und Grüße.

09.02.2010, 23:05

WebFritzi

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Nein. Du sollst einfach die Darstellungsmatrix von f (bzw. A) bezüglich der neuen Basis berechnen. Die Aufgabe ist schon irgendwie doof gestellt...

09.02.2010, 23:36

axiom_09

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Danke für die Antwort, aber könntest du mir bitte verraten, wie ich hier vorgehen sollte?

Grüße

09.02.2010, 23:37

tigerbine

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Naja, was ist daran komisch gestellt? Aber es ist genau das zu tun, was WebFritzi gesagt hat. Schön ist, dass man in Urbild und Bildraum die gleichen Basen hat.

Schema:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Imho kommt raus

Zitat:

M2 =

-5 -8 -6
2 4 4
3 5 5

10.02.2010, 00:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von axiom_09
Danke für die Antwort, aber könntest du mir bitte verraten, wie ich hier vorgehen sollte?

Berechne die Bilder der neuen Basis und stelle diese Bilder jeweils wieder als Linearkombinationen der neuen Basisvektoren dar. Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen, jeweils als Spalten geschrieben, bilden dann die Matrix.

10.02.2010, 00:06

El_Snyder

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Zitat:

Original von tigerbine
Imho kommt raus

Zitat:

M2 =

-5 -8 -6
2 4 4
3 5 5

Hab ich auch smile

@ axiom_09: Falls dir die Schreibweise was sagt, so kannst du es leicht berechnen:

$\begin{eqnarray*} M(E_3',f,E_3') = M(E_3',id,E_3) \cdot M(E_3,f,E_3) \cdot M(E_3,id,E_3') \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} M(E_3,id,E_3') = M(E_3',id,E_3)^{-1} \end{eqnarray*}$

10.02.2010, 00:10

tigerbine

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Das von ElSnyder entspricht meinem Diagramm. Da die Aufgabe schon so nett angegeben ist, hat man eine Transformationsmatrix sofort notiert. In 3x3 kann man eine Inversion noch verkraften. Augenzwinkern

Mehr dazu steht übrigens hier:
[Artikel] Basiswechsel

10.02.2010, 00:36

axiom_09

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Ich verstehe ich habs heraus bekommen, da nämlich meine gesuchte Darstellungsmatrix folgendes ist:

$\begin{eqnarray*} M^B_B (f) = C' * A * C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -8 & -6 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

C = Basiswechselmatrix und C' = Inversion von C

Ist es soweit korrekt?

10.02.2010, 00:37

tigerbine

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korrekt.

code:

1:
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3:
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57:
58:
59:
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61:
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63:
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68:
69:
70:
71:

 Basiswechsel2
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 1 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [0,0,1]
Koordinaten der Basis 2 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [1,1,0]
Vektor 3: [1,1,1]
 
Koordinaten der Basis 1 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [0,0,1]
Koordinaten der Basis 2 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [1,1,0]
Vektor 3: [1,1,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2 gegeben? 1
 
M = [0,1,2;5,4,0;3,2,0]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x

S =

     1     1     1
     0     1     1
     0     0     1


M1 =

     0     1     2
     5     4     0
     3     2     0


TI =

     1    -1     0
     0     1    -1
     0     0     1


M2 =

    -5    -8    -6
     2     4     4
     3     5     5

10.02.2010, 00:46

axiom_09

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Ok, jetzt wird alles klar, dann hoffe ich, dass es in der Klausur alles gut laufen wird.
Jedenfalls vielen Dank Tigerbine und auch an allen Anderen, die hier Unterstützung geleistet haben.
Gute Nacht und

mfG axiom_01

10.02.2010, 00:49

tigerbine

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Viel Erfolg in der Klausur!

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