Erwartungswert von Approximationsfunktion (Wahrscheinlichkeit)

10.02.2010, 01:58	KlausDieter	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert von Approximationsfunktion (Wahrscheinlichkeit) Hallo, und zwar geht es um die Approximierung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen mittels Stichproben. Sei X Normalverteilt ( $\begin{eqnarray} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ ) und seien $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ gezogene Stichproben. Sei $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} N(\mu,1) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P(x) \end{eqnarray}$ lässt sich nun folgenderweise Approximieren: $\begin{eqnarray} P_n(x) = \frac{1}{nh_n} \sum_{i=1}^n \phi \left(\frac{x-x_i}{h_n} \right) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} h_n \end{eqnarray}$ eine nur bestimmte Eigenschaften erfüllen muss, z.B. $\begin{eqnarray} h_n \to 0, n \to \infty \end{eqnarray}$ . Zu zeigen gilt nun: $\begin{eqnarray} E[P_n(x)] = N(\mu,\sigma^2+h_n^2) \end{eqnarray}$ Irgendwie komm ich da nicht wirklich weiter. Wenn ich die Definition anwende vom Erwartungswert anwende, erhalte ich: $\begin{eqnarray} E[P_n(x)] = \frac{1}{nh_n} \int \left[ \sum_{i=1}^n \phi \left(\frac{x-x_i}{h_n} \right) \right] f(x)dx \end{eqnarray}$ Wobei f(x) die Dichtefunktion der Normalverteilung $\begin{eqnarray} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ ist. Auch wenn man das Integral löst, würde man doch einen festen Wert und keine Verteilung/Dichtefunktion erhalten. Wo liegt also mein Fehler? Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
10.02.2010, 02:44	KlausDieter	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin nun etwas weitergekommen. Abgeleitet von einem ähnlichen Beispiel aus dem Buch, ist das ganze wohl so zu verstehen: $\begin{eqnarray} E[P_n(x)] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E\left[\frac{1}{h_n}\phi(\frac{x-x_i}{h_n})\right]= \int \frac{1}{h_n}\phi\left(\frac{x-v}{h_n}\right)f(v) dv \end{eqnarray}$ Beim Auflösen des Integrals scheitere ich aber leider weiterhin.

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