mehrdimensionales Integral

10.02.2010, 03:32

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

mehrdimensionales Integral

Behauptung:

Falls $\begin{eqnarray*} \int_{}^{ }\int_D^{ } \! F(x,y) \, dxdy =1 \end{eqnarray*}$ gilt, so muss auch für alle (x,y) aus D gelten, dass F(x,y) positiv ist.

Diese Behauptung gilt es zu verifizieren oder zu widerlegen. Leider fällt mir die anschauliche Auslegung der Behauptung sehr schwer. Ich integriere eine Funktion F über einen Bereich D nach x und y.

Ich habe mir jetzt einfach mal die xy-Ebene aufs Blatt gezeichnet und überlege mir, welche Funktion in welchem Bereich eigentlich über x und y integriert genau 1 ergibt. Also habe ich die konstante Funktion y=1 betrachtet. Wähle ich nun x aus [0,1] und y aus [0,1], so habe ich eine positive Funktion und das Integral über x und y ergibt 1.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^1 \! 1 \, dxdy = 1 \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist meine Betrachtung hier schon total falsch verwirrt

verwirrt

Nun wollte ich mir ein Gegenbeispiel konstruieren mit der konstanten Funktion y=-1. Aber egal ob ich $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^0 \! \int_{-1}^0 \! -1 \, dxdy \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^0 \! \int_{0}^1 \! -1 \, dxdy \end{eqnarray*}$ betrachte, ich komme auf -1. Ich hatte irgendwie erhofft dadurch zum Ziel zu kommen, hänge aber in den Seilen traurig

traurig

10.02.2010, 04:12

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Andere Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\,f(x)\,dx = 1\quad\Longrightarrow\quad f(x) > 0\;\text{ für alle }\,x\in [0,1]. \end{eqnarray*}$

Wahr oder falsch?

10.02.2010, 11:00

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich gehe jetzt mal auf den letzten Fall ein und habe meine Gedanken ein wenig sortiert. Ob es richtig ist weiß ich nicht, aber erstmal habe ich mir überlegt dass f(x)>0 ja nicht bedeutet dass es zwangsläufig eine konstante Funktion wie 1 sein muss, sondern durchaus eine Gerade sein kann. f(x)>0 für alle x sagt mir ja nur dass alle Funktionswerte größer Null sein müssten, was ja auch bei nicht konstanten Funktionen erfüllt sein kann. Also betrachte ich f(x)=-2x+2, welche ja von 0 bis 1 den Flächeninhalt 1 haben sollte.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (-2x+2) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=-x^2+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (-2x+2) \, dx=\left[-x^2+2x\right]_{0}^{1}=-1+2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=2>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(1)=0=0 \end{eqnarray*}$

Wäre das jetzt ein Widerspruch zu deiner Behauptung ?

10.02.2010, 12:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das ist ein Spezialfall (mit f(x) = -2x + 2), für den die Behauptung gilt. Frage ist, ob sie für alle Funktionen f gilt?

10.02.2010, 12:30

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mit f(1)=0 doch gezeigt dass es eine Funktion gibt für die das Integral von 0 bis 1 genau 1 ist, aber nicht alle f(x)>0 sind. Damit widerlege ich doch die Behauptung, oder bin ich jetz total auf dem Holzweg?

10.02.2010, 13:10

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja. Sorry. Findest du vielleicht auch eine Funktion, die sogar negativ wird?

Anzeige

10.02.2010, 14:41

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Bedeutet "eine Funktion, die sogar negativ wird" nun dass f(x)<0 für alle x aus [0,1] oder dass ein f(x)<0 ?

Ich würde anschaulich betrachtet sagen nein, denn wenn ein f(x) <0 dann bewege ich mich unterhalb der x-Achse, damit würde der Flächeninhalt doch negativ werden und unsere Grundbehauptung nicht erfüllen. Aber wenn du schon so fragst....*grübel*

10.02.2010, 17:02

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hilfebedürftiger
Bedeutet "eine Funktion, die sogar negativ wird" nun dass f(x)<0 für alle x aus [0,1] oder dass ein f(x)<0 ?

Letzteres.

Muss eine Funktion unbedingt stetig sein, damit man sie integrieren kann?

10.02.2010, 19:09

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich werde nachher schauen ob ich eine entsprechende Funktion finden kann.

Eine Funktion muss zumindest stückweise stetig sein, damit man sie integrieren kann.

10.02.2010, 19:38

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun habe ich also eine Funktion gesucht, für die $\begin{eqnarray*} \int_0^1\,f(x)\,dx = 1 \end{eqnarray*}$ gilt und dabei negativ wird. Der Hinweis mit der Stetigkeit war gut, denn mit allen anderen Konstruktionen habe ich es nicht hinbekommen.

Meine Funktion sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} -1 & 0\leq x <\frac{1}{2} \\ 3 & \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \! -1 \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 \! 3 \, dx = \left[-x\right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \left[3x\right]_{\frac{1}{2}}^{1} = -\frac{1}{2}+3-\frac{3}{2}=1 \end{eqnarray*}$

Beispielsweise ist f(0)=-1 und die Funktion damit negativ.

Zugegebenermaßen habe ich vorher mit Stift und Papier gezeichnet und mir die Lösung auf dem Blatt konstruiert. Spricht vielleicht nicht für mich geschockt

geschockt

Bleibt noch die ursprüngliche , eigentliche Fragestellung. Mein Problem dabei ist das ich mir die Problematik im eindimensionalen Fall noch ganz gut veranschaulichen konnte, das geht jetzt weniger.

10.02.2010, 19:54

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man nun ein bischen weniger nachdenkt, was hälst du von der Funktion
$\begin{eqnarray*} f: [0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x\mapsto-2010 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar? Falls ja, was ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^1f(x)\dd x \end{eqnarray*}$ ?
Kannst du nun eine Funktion für deine Aufgabe finden?

10.02.2010, 20:09

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

f ist integrierbar und das Integral ergibt auch 1. Wie man das Integral ganz sauber aufschreibt wenn diese Unstetigkeitsstelle nun wirklich nur an einem Punkt ist weiß ich allerdings nicht. Ist meine Variante aber, wenn auch wohl zu kompliziert gedacht, trotzdem richtig?

Ich könnte nun ja meine oder auch eine andere Funktion zudem noch über y integrieren und y von 0 bis 1 laufen lassen, dann würde sich am Wert des Integrals nichts ändern, ich hätte ein Integral dxdy das die Voraussetzung erfüllt und die Behauptung widerlegt.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} -1 & 0\leq x <\frac{1}{2} , 0\leq y\leq 1 \\ 3 & \frac{1}{2} \leq x \leq 1,0\leq y\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \! f(x,y) \, dxdy = \int_0^1 \int_0^{\frac{1}{2}} \! -1 \, dxdy + \int_0^1 \int_{\frac{1}{2}}^{1} \! 3 \, dxdy=\int_0^1 \! -\frac{1}{2} \, dy + \int_0^1 \! \frac{3}{2} \, dy=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber f(0,0) z.B. = -1 und damit die Behauptung widerlegt.

Unabhängig von der Tatsache das mein Gegenbeispiel zu kompliziert gewählt ist frage ich mich ob ich die Funktion f(x,y) vielleicht auch besser hätte aufgeschrieben werden können.

10.02.2010, 22:35

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hilfebedürftiger
f ist integrierbar und das Integral ergibt auch 1. Wie man das Integral ganz sauber aufschreibt wenn diese Unstetigkeitsstelle nun wirklich nur an einem Punkt ist weiß ich allerdings nicht. Ist meine Variante aber, wenn auch wohl zu kompliziert gedacht, trotzdem richtig?

Ja, du hast ja auch bewiesen, dass sie richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Dass diese Unstetigkeitsstelle an einem Punkt ist erfordert keine besondere Notation,
$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1f(x)\dd x \end{eqnarray*}$ reicht vollkommen.
Die Bemerkung ist einfach, dass die Funktionswerte an einzelnen Punkten vollkommen egal sind für den Wert des Integrals.

Deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist ein gutes Gegenbeispiel, auch das hast du ja schon selbst bewiesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Original von Hilfebedürftiger
Unabhängig von der Tatsache das mein Gegenbeispiel zu kompliziert gewählt ist frage ich mich ob ich die Funktion f(x,y) vielleicht auch besser hätte aufgeschrieben werden können.

Die Bedingung an $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hättest du dir sparen können, denn deine Funktion soll auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ definiert sein und wenn du $\begin{eqnarray*} D=[0,1]^2 \end{eqnarray*}$ setzt, dann ist es klar, dass $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq1 \end{eqnarray*}$ gilt.

11.02.2010, 00:12

Hilfebedürftiger

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank euch beiden für die Hilfe. Und die Moral von der Geschichte ist nun dass ein einzelner Funktionswert nicht zwingend Einfluss auf auf das gesamte Integral hat und damit ein positiver Wert des Integrals nicht bedeutet, dass alle Funktionswerte positiv sein müssen ?

11.02.2010, 08:00

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Und ein einzelner Funktionswert hat überhaupt keinen Einfluss auf den Integralwert.

11.02.2010, 09:36

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur so eine Frage nebenbei: Man muss sich doch nicht auf einen Funktionswert beschränken, oder? Wenn man Treppenfunktionen nutzt, kann man auch sehr schön entsprechende Integralwerte basteln, obwohl die Funktion (u.a.) negativ ist.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{split} -2 \qquad & x \in \left[0,\frac{1}{2}\right] \\ 4 \qquad & x \in \left[\frac{1}{2},1\right] \end{split} \right. \end{eqnarray*}$

Dann ist das

$\begin{eqnarray*} \int f(x) \, dx = -2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Entsprechend geht dies ja auch im mehrdimensionalen.

11.02.2010, 09:47

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man muss sich nicht auf einen Funktionswert beschränken.
Falls das Integral als Lebesgue-Integral aufgefasst wird, dann kannst du den Funktionswert auf jeder Nullmenge beliebig ändern - und Nullmengen müssen garnicht so klein sein.

Als Beispiel kannst du $\begin{eqnarray*} f: [0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} x\mapsto\begin{cases}-1\quad x\in\mathbb Q \\ 1\quad x\notin\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$
nehmen [hier ist das Lebesgue-Integral zwingend, das Riemann-Integral für dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert nicht].

11.02.2010, 10:01

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, auf Nullmengen geht's natürlich. Was ich eher meinte: Man kann doch "negative" Integrale durch entsprechend größere "positive" Integrale wieder aufheben, sodass am Ende wieder was positives (z.B. 1) rauskommt.
Aber zugegebenermaßen kenne ich mich mit Lebesgue-Integral nicht aus, wir hatten nur Riemann-Integral im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

11.02.2010, 10:07

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann man.
Nur es wirklich zu tun braucht zum einen viel Fantasie und zum anderen auch ein einfaches Integrationsgebiet [vielleicht auch eine sehr niedrige Dimension]. Auf "komplizierten" Gebieten ist sowas sicherlich sehr mühsam.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »