Abstand(min) zweier windschiefer Geraden

10.02.2010, 09:01

Gänseblümchen

Abstand(min) zweier windschiefer Geraden

Ich muss diese Aufgabe lösen und weiß einfach nicht weiter:

Ein Ballon startet im Punkt A(2/5/0). Er bewegt sich gradlinig mit konstanter Geschweindigkeit und ist nach 1 Stunde im Punkt B(4/8/1). Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt C( 19/15/1) und fliegt gradlinig mit 9o km/h in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (alle Koordinaten in km).
Frage:
Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und des Klainflugzeug am nächsten? Wie weit sind sie in deisem Augenblick von einander entfernt?

Ich weiß dass ich den kürzesten Abstand dieser beiden windschiefen Geradenberechnen soll nud wie ich die Punkte auf den zwei geradenbekomme oder den vektor zwischen diesen Punkten is mir leider nicht bekannt.
Wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

10.02.2010, 09:35

Gualtiero

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RE: Abstand(min) zweier windschiesfer Geraden
Für die Fragestellung allgemein kannst Du mal hier gucken.

Und zum Vektor der beiden Punkte, die den kürzesten Abstand definieren, sage ich vorerst nur: Vektorprodukt.

Hilft Dir das schon?

10.02.2010, 10:04

riwe

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RE: Abstand(min) zweier windschiesfer Geraden
ich würde im konkreten fall über die notwendigkeit der gleichzeitigkeit grübeln Augenzwinkern

10.02.2010, 10:24

Gänseblümchen

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RE: Abstand(min) zweier windschiesfer Geraden
Was meinst du mit Gleichzeitigkeit?
Dass ich ihre GEschwindigkeit beachten soll?? Nur wie?

10.02.2010, 10:35

riwe

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RE: Abstand(min) zweier windschiesfer Geraden
fange einmal von vorne an und stelle die beiden bewegungsgleichungen auf.

gleichzeitigkeit heißt, dass man hier nicht eines der "standardverfahren" zur bestimmung des kleinsten abstandes von ws geraden anwenden kann,
da für die beiden geraden der parameter t identisch sein muß, da beide die GLEICHE zeit unterwegs sind.

10.02.2010, 10:52

Gänseblümchen

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aber der Ballon bewegt sich mit ungefär 3.74 km/h und das flugzeug mit 90 km/h.
wie willst du dass denn vergleichen?

10.02.2010, 12:04

riwe

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das ist doch kein diskussionskurs,
also noch einmal: male die beiden geradengleichungen hier her,
dann geht´s weiter unglücklich

10.02.2010, 12:11

SteMa

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Eine (überflüssige?) Anmerkung zur Berechnung des Abstandes windschiefer Geraden.
Ein einsichtiges, schnelles Verfahren ist das folgende:
* Hilfsebene e, die die eine Gerade enthält und zu der die andere Gerade parallel ist (Zeitbedarf: 5 Sek.). e in die HNF bringen und den Abstand des Aufpunktes der parallelen Geraden berechnen.

Die Aufgabe hier ist eine nette Variante. Für die gleichförmige Bewegung gilt ja
$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)} = \vec{v_0} \cdot t \end{eqnarray*}$

Für Ballon (natürlich auch für Flugzeug) gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_B = v_B \cdot \vec{v^0} \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ der Betrag der Geschwindigkeit und $\begin{eqnarray*} \vec{v^0} \end{eqnarray*}$ der in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{v_B} \end{eqnarray*}$ weisende Einheitsvektor ist.
Der Abstand der beiden Objekte ist gegeben durch den Betrag des Vektors
$\begin{eqnarray*} \vec{x_F(t)} - \vec{x_B(t)} \end{eqnarray*}$ und dieser Abstand ist auf Minimum zu untersuchen.

Hab ich das vielleicht zu kompliziert gemacht??
Nach meiner Rechnung (fehlerfrei?) wäre das nach ca. 7,9 Minuten der Fall, der kleinste Abstand wäre dann 15,6 km.

10.02.2010, 12:41

riwe

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Zitat:

Original von SteMa

Die Aufgabe hier ist eine nette Variante. Für die gleichförmige Bewegung gilt ja
$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)} = \vec{v_0} \cdot t \end{eqnarray*}$

Für Ballon (natürlich auch für Flugzeug) gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_B = v_B \cdot \vec{v^0} \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ der Betrag der Geschwindigkeit und $\begin{eqnarray*} \vec{v^0} \end{eqnarray*}$ der in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{v_B} \end{eqnarray*}$ weisende Einheitsvektor ist.
Der Abstand der beiden Objekte ist gegeben durch den Betrag des Vektors
$\begin{eqnarray*} \vec{x_F(t)} - \vec{x_B(t)} \end{eqnarray*}$ und dieser Abstand ist auf Minimum zu untersuchen.

Hab ich das vielleicht zu kompliziert gemacht??
Nach meiner Rechnung (fehlerfrei?) wäre das nach ca. 7,9 Minuten der Fall, der kleinste Abstand wäre dann 15,6 km.

so geht es, auch das ergebnis stimmt (zumindest mit meiner rechnung überein) Freude

den (kleinsten) abstand windschiefer geraden benötigt man hier nicht Augenzwinkern

10.02.2010, 13:34

Gänseblümchen

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jetzt hab ich verstanden was ihr meint!

DANKE!

10.02.2010, 13:47

riwe

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und dazu mußt du nicht einmal differenzieren, wenn du nicht magst.
man kann die parabel v(t) = at² + bt + ... auch (einfach verwirrt

) auf ihre scheitelpunktform bringen, das ergibt das gewünschte

$\begin{eqnarray*} t_{min}=\frac{66900}{8474}min\wedge d\approx 15.6 km \end{eqnarray*}$

während der minimale abstand der beiden windschiefen geraden $\begin{eqnarray*} d_{min}\approx 14.4 km \end{eqnarray*}$ beträgt Augenzwinkern

10.02.2010, 15:18

SteMa

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Zitat:

Original von riwe
während der minimale abstand der beiden windschiefen geraden $\begin{eqnarray*} d_{min}\approx 14.4 km \end{eqnarray*}$ beträgt Augenzwinkern

@ riwe
(hab mal kurz Pause gemacht) - nur zur Richtigstellung: der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt $\begin{eqnarray*} \approx 8,96 km \end{eqnarray*}$
vielleicht hast du dich verrechnet.
Gruß SteMa

10.02.2010, 15:32

riwe

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Zitat:

Original von SteMa

Zitat:

Original von riwe
während der minimale abstand der beiden windschiefen geraden $\begin{eqnarray*} d_{min}\approx 14.4 km \end{eqnarray*}$ beträgt Augenzwinkern

kann schon sein, auf jeden fall ist er kleiner als der der beiden luftschifferl in der "virtuellen realität" smile

ja, dein abstandswert ist korrekt Freude

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