H Normalteiler von in G, falls [G:H]=2

10.02.2010, 12:23	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
H Normalteiler von in G, falls [G:H]=2 Hallo, Übungsaufgabe: Sei G eine Gruppe und sei H eine Untergruppe von G mit [G:H]=2. Dann ist H Normalteiler von G. Folgende Überlegungen: $\begin{eqnarray} [G:H]=\|G/H\|=\|H\backslash G\|=2 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} G/H=\{gH,g'H\} \text{mit } g,g'\in G \text{ und } g-g'\notin H \end{eqnarray}$ . Stimmt das erstmal?
10.02.2010, 12:32	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt so.
10.02.2010, 14:20	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Danke. Aber ich seh den Rest nicht, würd mir mal jemand auf die Sprünge helfen, das wäre lieb. Irgendwie ist die Abbildung $\begin{eqnarray} G/H\rightarrow H\backslash G; gH\mapsto Hg^{-1} \end{eqnarray}$ wohldefiniert und bijektiv laut Skript. Und das krieg ich auch nachgefprüft, aber gibt es diese Abbildung auch immer? Sprich ex. immer ein Inverses in einer Menge $\begin{eqnarray} G/H \end{eqnarray}$ und analog in $\begin{eqnarray} H\backslash G \end{eqnarray}$ ? Überlegung falls es das Inverse geben muss: Dann ist entweder $\begin{eqnarray} g=g^{-1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} g'=g^{-1} \end{eqnarray}$ . Weiß es nicht. Schmouky
10.02.2010, 16:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe hier, 2. Teil
10.02.2010, 17:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm an, daß $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ vom Index 2 ist. Dann gibt es zwei disjunkte gleichmächtige Linksnebenklassen, nämlich $\begin{eqnarray} N_1 = N \end{eqnarray}$ selbst und $\begin{eqnarray} N_2 = G-N \end{eqnarray}$ . So ist ja der Index definiert. Betrachte nun ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ . 1. Fall: $\begin{eqnarray} g \in N \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} gN = N = N_1 \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} g \not \in N \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} gN = N_2 \end{eqnarray}$ Wenn du hier aber "Linksnebenklassen" durch "Rechtsnebenklassen" ersetzt, erhältst du dieselben zwei Fälle. Zusammenfassend gilt also stets $\begin{eqnarray} gN = Ng \end{eqnarray}$ .
10.02.2010, 19:29	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das habe ich verstanden. Dennoch muss ich mal nachfragen: Im Fischer steht z.B. als Definition (ebenso wie bei uns im Skript): Ist H Untergruppe von G, so nennt man die Anzahl der Nebenklassen, d.h. der Elemente in G/H oder H\G, den Index von H in G, in Zeichen... etc. Gut, jetzt habe ich den Index [G:H]=2. Dann weiß ich, dass ich diesbezüglich 2 Nebenklassen habe. Bleiben wir erstmal bei Linksnebenklassen. Also wie Du oben schreibst $\begin{eqnarray} N_1, N_2 \end{eqnarray}$ . 1.) Dass eine davon schlicht H sein muss, erkläre ich mir so, dass einfach $\begin{eqnarray} 0H=h_1H=h_2H=\hdots =\{0\circ h \| h\in H\}=H \end{eqnarray}$ immer auch trivialerweise eine Nebenklasse von H sein muss. Stimmt's? 2.) Dass die andere davon das Komplement sein muss, folgt aus der Disjunktheit. Gilt also für die Elemente der Menge $\begin{eqnarray} G/H=\{g_1H,g_2H,g_3H,\text{etc.}\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g_1H\cup g_2H\cup g_3H\cup\text{etc.}=G \end{eqnarray}$ ? Müsste dann doch, oder? Aber wieso?Also woher weiß man, dass sie (ich glaube das ist das richtige Wort) ein Partition bilden?
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