Produkt mal funktion Lösungsweg?

10.02.2010, 12:23

MLE

Produkt mal funktion Lösungsweg?

Kann mir bitte jm helfen...

Ich habe einen denkfehler bei der umformung folgender gleichung

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n ((1-v)^{Xi-1}*v) \end{eqnarray*}$

ich bin so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n ((1-v)^{Xi-1}*v) \end{eqnarray*}$ /* Summe und ln

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n (ln(1-v)^{Xi-1} + ln (v)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n ( (Xi-1)*ln(1-v) + ln (v)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=1}^n (Xi-1)*ln(1-v) +n* ln (v) \end{eqnarray*}$

aber das Ergebnis sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{v}{1-n} \right)^{n} *(1-v)^{(\sum\limits_{i=1}^n Xi) } \end{eqnarray*}$

Ich habe leider keine Ahnung wie ich auf dieses Ergenis kommen soll... kann mir bitte jm helfen? Schritt für Schritt? Ich sitze schon lange an dieser Aufgabe unglücklich

10.02.2010, 12:41

Intercept0r

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RE: Produkt mal funktion Lösungsweg?
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n ((1-v)^{Xi-1}*v) \end{eqnarray*}$

Wir schreiben das Produkt mal anders.

$\begin{eqnarray*} ((1-v)^{X_1-1} \cdot v) \cdot ((1-v)^{X_2-1} \cdot v) \cdot ... \cdot ((1-v)^{X_n-1} \cdot v) \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die -1 aus dem Exponenten ziehen.
$\begin{eqnarray*} ((1-v)^{-1} \cdot(1-v)^{X_1} \cdot v) \cdot ((1-v)^{-1} \cdot (1-v)^{X_2} \cdot v) \cdot ... \cdot ((1-v)^{-1} \cdot (1-v)^{X_n} \cdot v) \end{eqnarray*}$

Jetzt können wir das ganze vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} ((1-v)^{-1+(-1)+ ...+(-1)} \cdot(1-v)^{X_1+X_2+...+X_n} \cdot v \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du fast fertig ;-)

10.02.2010, 13:04

Intercept0r

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Hab noch was vergessen, das n im exponenten bei v fehlt

$\begin{eqnarray*} ((1-v)^{-1+(-1)+ ...+(-1)} \cdot(1-v)^{X_1+X_2+...+X_n} \cdot v^n \end{eqnarray*}$

10.02.2010, 13:09

MLE

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RE: Produkt mal funktion Lösungsweg?

Zitat:

Original von Intercept0r

Jetzt können wir das ganze vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} ((1-v)^{-1+(-1)+ ...+(-1)} \cdot(1-v)^{X_1+X_2+...+X_n} \cdot v \end{eqnarray*}$

hmmm bei mir ergibt sich dann aber:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{1-v} \right)^{n} *(1-v)^{(\sum\limits_{i=1}^n Xi) } \end{eqnarray*}$

Was vergesse/missarte ich verwirrt

10.02.2010, 13:40

kiste

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Das v^n fehlt, also jeweils das hintere v

10.02.2010, 13:40

Intercept0r

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RE: Produkt mal funktion Lösungsweg?

Zitat:

Original von MLE

Zitat:

Original von Intercept0r

Jetzt können wir das ganze vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} ((1-v)^{-1+(-1)+ ...+(-1)} \cdot(1-v)^{X_1+X_2+...+X_n} \cdot v \end{eqnarray*}$

hmmm bei mir ergibt sich dann aber:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{1-v} \right)^{n} *(1-v)^{(\sum\limits_{i=1}^n Xi) } \end{eqnarray*}$

Was vergesse/missarte ich verwirrt

Das v^n hast du vergessen

$\begin{eqnarray*} = ((1-v)^{-n} \cdot(1-v)^{(\sum\limits_{i=1}^n Xi)} \cdot v^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (v^n \cdot (1-v)^{-n} \cdot(1-v)^{(\sum\limits_{i=1}^n Xi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = v^n \cdot (\frac{1}{(1-v)^n}) \cdot(1-v)^{(\sum\limits_{i=1}^n Xi)} \end{eqnarray*}$

10.02.2010, 14:50

MLE

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hmmm ich glaube ich habs verstanden, kann ich es auch so schreiben(ist es mathematisch korrekt?):

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^n ((1-v)^{Xi-1}*v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-v)^{n*Xi-n} * v^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-v)^{n*Xi} *(1-v)^{-n} *v^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-v)^{\sum\limits_{i=1}^n Xi } *\frac{1}{(1-v)^{n} } *v^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-v)^{\sum\limits_{i=1}^n Xi } *\frac{v^{n}}{(1-v)^{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-v)^{\sum\limits_{i=1}^n Xi } *\left(\frac{v}{(1-v) }\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Hilfe!!!

11.02.2010, 13:05

kiste

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Nein darfst du nicht, $\begin{eqnarray*} nX_i \neq \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ (zumindest im Allgemeinen Fall)

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