Restglied

10.02.2010, 12:53	DasTinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Restglied Hi! Kann mir vielleicht jemand erklären, was zur Hölle mir das Restglied sagen will... Wozu ist das nutze, was sagt es mir... und warum wird es jedesmal anders dargestellt??? Habe schon Wikipedia und sonst was durchforstet aber man bekommt immer nur konkrete Anwendungen... z.b. Bei Taylor wird das Restglied so und so dargestellt... ich hoffe ihr versteht mein problem... LG Tinchen
10.02.2010, 13:03	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematische Tatsachen sagen dir gar nichts. Es liegt in deiner Verantwortung etwas tolles mit ihnen anzustellen. Man könnte eine Funktion f annähern, deren Taylorreihe gegen f konvergiert, indem man die ersten paar Glieder der Taylorreihe ausrechnet und dann das Restglied abschätzt. Was die verschiedenen Darstellungsweisen angeht: Einer der Beweise für die Tatsache, dass sich hinreichend oft diffbare Funktion als Summe aus Taylorpolynom und Restglied $\begin{eqnarray} \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^nf^{(n+1)}(t) \mathrm d t \end{eqnarray}$ darstellen lässt fußt auf der Tatsache, dass das Restglied in dieser Gestalt partiell integriert werden kann. Mit einer anderen Darstellung wäre der Beweis so nicht durchführbar.
10.02.2010, 13:57	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Gefühl, du weißt gar nicht, was das Restlgied eigentlich ist. Deswegen bist du verwirrt. Wir haben eine Funktion f. Die ist möglicherweise ziemlich kompliziert und schwer zu berechnen. Wir interessieren uns auch nur für die Funktionswerte f(x) mit $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ , I ein ganz kleines Interval um eine Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ herum. Wir möchten also eine möglichst einfache Funktion p haben, deren Funktionswerte p(x) für $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ möglichst nahe an f(x) liegen (jeweils für jedes $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ ). Dazu macht man den Ansatz: p ist ein Polynom. Um p(x) nahe an f(x) ranzukriegen (für x in der Nähe von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ), stellt man sich vor, dass das wohl der Fall sein wird, wenn möglichst viele Ableitungen von p und f in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ übereinstimmen. (Mal dir dazu zwei Kurven auf, die sich an einer Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ schneiden und dort die gleiche Tangente haben. Du wirst sehen, dass die Kurven in der Nähe der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ sehr nahe beieinander liegen.) So. Und genau das macht das Taylorpolynom: *Das Taylorpolynom n-ten Grades von f ist das* Polynom p höchstens n-ten Grades, für das gilt: $\begin{eqnarray} p^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0) \end{eqnarray}$ für alle k = 0,1,...,n.** Die Formel für das Taylorpolynom n-ten Grades kann man explizit berechnen, und du kennst sie ja bereits. Man möchte nun natürlich, dass f(x) und p(x) für alle x aus dem Intervall I sehr nahe beieinander liegen. Man kann sich vorstellen, dass das umso mehr der Fall ist, je mehr Ableitungen von p und f übereinstimmen. Naja, auf jeden Fall interessieren wir uns dafür, wie weit f(x) und p(x) höchstens auseinanderliegen. Und genau hier kommt das Restglied ins Spiel. Wir möchten also den Abstand von f(x) zu p(x) messen. Der Abstand zwischen 2 Punkten a und b ist gegeben durch \|a - b\|. Also wollen wir wissen, welchen Wert \|f(x) - p(x)\| höchstens haben kann für $\begin{eqnarray} x\in I. \end{eqnarray}$ Dazu definieren wir erstmal das Restglied: $\begin{eqnarray} R(x) := f(x) - p(x). \end{eqnarray}$ Das Restglied (n-ten Grades) ist also nichts anderes als die Differenz zwischen der gegebenen Funktion und dem Taylorpolynom (n-ten Grades). Sagen wir mal, wir können zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|R(x)\| \le 0.0001. \end{eqnarray}$ Dann wissen wir, dass für alle x aus dem Intervall I die Werte f(x) und p(x) höchstens 0.0001 auseinander liegen. Diesen Wert nennt man auch den maximalen Fehler. In einem Graphen gezeichnet liegen die Funktionskurven von f und dem Polynom also ziemlich nahe beieinander. Das Ziel bei der Abschätzung des Restgliedes ist also, den maximalen Abstand zwischen der eventuell ziemlich komplizierten Funktion f und dem Taylorpolynom zu berechnen, bzw. eine obere Grenze für diesen Abstand anzugeben.

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