green'scher satz

12.06.2004, 12:56	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
green'scher satz hallo zusammen, hab da ein problem bei einem beispiel, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen: der satz von green ist am beispiel $\begin{align} \Bigint_{C}^a~-ydx+x~dy \end{align}$ nachzuprüfen, worin C den rand des von y= $\begin{align} \sqrt{x} \end{align}$ und y= $\begin{align} x^2 \end{align}$ begrenzten gebiets bezeichnet . waer eine feine sache, wenn mir hier jemand weiterhelfen koennte mfg
15.06.2004, 14:25	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du die Frage vielleicht etwas erläutern? Was bedeutet z.B. das a oben am Integral (Druckfehler?) und was sagt der Green'sche Satz? Sind damit die Greenschen Formeln gemeint? Sieht mir jedenfalls danach aus. Schreib doch mal die fragliche Formel hin, bitte... Liebe Grüße Mario
16.06.2004, 16:51	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ja, das "a" ist ein druckfehler .... und gemeint sind nicht die formeln von green sondern der integral-satz: $\begin{align} \Bigint_{C}^.~v~dx = \Bigint_{D}^.~-ydx+x~dy = \Bigint_{D}^.~rot(v)~dxdy \end{align}$ der punkt in der oberen integrationsgrenze hat nichts zu bedeuten ... v ist das vektorfeld über das laengs der kurve C integriert werden soll, ferner muss hier direkt übers kurvenintegral gelöst werden und dann mit hilfe dieses zusammenhanges (mit rot(v)dxdy) , wobei dann da natuerlich das gleiche ergebnis rauskommen muss. ich hoffe, dass es jetzt passt! waere elendsfroh, wenn mir da jemand einen brauchbaren loesungsweg schildern koennte merci, mfg!
16.06.2004, 17:48	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Antwort die erste: Greenscher Satz sagt mit (u,v)(.): IR^2->IR^2 als Vektorfeld: $\begin{align} \int_D (v_x-u_y) d(x,y)= \int_C u dx+ v dy \end{align}$ . Man erkennt aus der rechten Seite, dass hier u(x,y)=-y und v(x,y)=x zu wählen ist. Das linke Integral liefert also mit v_x=1 und u_y=-1: $\begin{align} \int_D (v_x-u_y) d(x,y)= \int_D 2 d(x,y)=2\|G\|=2 \int_0^1 (\sqrt(x)-x^2)= 2/3 \end{align}$ . Am zweiten arbeite ich weiter, 10 min.... Liebe Grüße Mario
16.06.2004, 18:02	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstes Kurvenintegral entlang C_1: (x,y)(t):=(t,t^2) (t\in[0,1]): x=t, d.h. dx/dt=1, y=t^2, d.h. dy/dt=2t, u=-y=-t^2, v=x=t, $\begin{align} \int_C_1=\int_0^1 (-t^2) dt + \int_0^1 t 2t\, dt =1/3 \end{align}$ . Zweites Integral entlang C_2:=(t,\sqrt(t)) (t\in [0,1]): x=t, dx/dt=1 y=\sqrt(t), dy/dt = 1/(2\sqrt(t)) u=-y=-\sqrt(t) v=x=t $\begin{align} \int_C_2=\int_0^1 (-\sqrt t ) dt + \int_0^1 t/( 2\sqrt t)\, dt = -1/3 \end{align}$ Wenn man nun die Randkurve richtig orientiert, erh"alt man also $\begin{align} \int_C=\int_C_1-\int_C_2 =2/3, \end{align*}$ d.h. der Greensche Integralsatz ist für dieses Bsp. bestätigt. . P.S.: Ich glaube, Dein zweites D muss ein C sein... Liebe Grüße Mario
16.06.2004, 18:27	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
was soll man da noch sagen herr green in person, makellos ! :] vielen dank! mfg
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