Grenzwert bestimmen.

10.02.2010, 19:56

LauderBack

Grenzwert bestimmen.

Hallo,

da ich in Mathe letzter Zeit gar nichts verstehe, möchte ich gerne, dass mir dies jemand Schritt für Schritt erklären könnte, was ich zu tun habe.

Und zwar geht es um die Bestimmung des Grenzwertes.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand erklären und deutlich sagen könnte, wie man hier den Grenzwert bestimmt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{5}{x} \end{eqnarray*}$

Wäre für Antworten dankbar.

Grüße

10.02.2010, 20:00

crosell

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RE: Grenzwert bestimmen.
Also du hast eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{x}=5\cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , die sieht so aus .

Du sollst nun untersuchen, wie sich die Funktion für sehr große x-Werte verhält. Du siehst den Graph der Funktion, was kannst du über die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ aussagen für sehr große x.

Das soll jetzt nur erstmal der Veranschaulichung dienen, das macht man natürlich normalerweise nicht extra grafisch, du möchtest aber erstmal eine Einführung zu dem Thema smile

10.02.2010, 20:12

LauderBack

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Okay, das habe ich erstmal gerafft, denke ich.

10.02.2010, 20:14

crosell

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RE: Grenzwert bestimmen.
Anschaulich bedeutet der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f(x) \end{eqnarray*}$ sofern er existiert, dass sich für sehr sehr große x-Werte die Funktionswerte nicht mehr ändern, es bildet sich ein Wert heraus der für alle x die groß genug sind identisch ist, diesen Wert nennt man dann Grenzwert der Funktion (in diesem Fall im Unendlichen), möchte man den Grenzwert der Funktion für ein $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}f(x) \end{eqnarray*}$ an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ betrachten so schaut man, wie sich für eine Folge von x Werten die von links und rechts gegen die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ laufen, die dazugehörigen Funktionswerte verhalten. Streben diese von links bzw. rechts gegen einen gemeinsamen Wert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ so sagt man der Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert.

Gut das hast du erstmal verstanden, was kannst du denn nun über den Funktionswert für große x Werte für $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{x} \end{eqnarray*}$ aussagen?

10.02.2010, 20:22

crosell

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RE: Grenzwert bestimmen.
Ich muss leider noch dringend los. Wenn jemand mit über den Thread schaut möge er doch weiterhelfen, falls weitere Fragen auftauchen, ich denke eine Einführung in die Grenzwertthematik ist schon sehr wichtig.

Wink

10.02.2010, 20:29

LauderBack

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Der Funktionswert geht dann weiter gegen 0, richtig?

Okay, hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, ich danke dir, dass du dir die Mühe machst! smile

10.02.2010, 20:31

Anatol

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richtig

10.02.2010, 20:40

LauderBack

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Okay, das freut mich.

Jetzt müsste ich wohl warten.. bis crosell wieder da ist. Oder, jemand könnte es weiterführen, was er angefangen hat. smile

10.02.2010, 22:39

system-agent

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Na den Grenzwert hast du nun ja schon selbst erwähnt.

10.02.2010, 22:46

LauderBack

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Verstehe ich jetzt nicht. verwirrt

10.02.2010, 23:12

system-agent

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Du hast gerade vorhin festgestellt, dass die Funktionswerte immer weiter auf Null zustreben, also ist der Grenzwert Null:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{5}{x}=0 \end{eqnarray*}$ .

11.02.2010, 14:17

LauderBack

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Okay, danke sehr!

Gefällt mir, dass mir so schnell und gut geholfen werden kann. smile

11.02.2010, 14:44

system-agent

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Du solltest dir allerdings im Klaren sein, dass das nur eine "gute Überlegung" war um den Grenzwert zu finden. Das war sicher kein formaler Nachweis.

11.02.2010, 14:59

LauderBack

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Ja, das stimmt... dort liegen meine Probleme, herauszufinden, was genau gemacht werden muss.

Ich habe hier noch eine Aufgabe.. ist bestimmt auch leicht, aber komme da auch nicht drauf.

Und zwar, soll ich hier: $\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

Das Verhalten untersuchen bei der Annäherung an die Definitionslücke und die Gleichung der senkrechten Asymptote angeben.

Das mit der Definitionslücke weiß ich.. ist daselbe wie bei der vorherigen Aufgabe, richtig?

Aber bei der senkrechten Asymptote, da komme ich ins Grübeln. verwirrt

11.02.2010, 15:02

system-agent

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Zitat:

Original von LauderBack
Das mit der Definitionslücke weiß ich.. ist daselbe wie bei der vorherigen Aufgabe, richtig?

In der letzten Aufgabe hat man $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtet. Hier sollst du aber $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ betrachten.
Unterscheide hier aber, von welcher "Seite" du kommst, also ob du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen Null nimmst wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer positiv ist, oder ob du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen Null nimmst und dabei nur negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ betrachtest.

Zitat:

Original von LauderBack
Aber bei der senkrechten Asymptote, da komme ich ins Grübeln. verwirrt

Dann mach dir ersteinmal klar, was denn eine senkrechte Asymptote ist.

11.02.2010, 15:29

LauderBack

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Warum ist denn jetzt hier gegen null und nicht unendlich? Verstehe ich nicht..

Und die senkrechte Asymptote ist die Y-Achse. Richtig?

11.02.2010, 15:38

diemensch

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weil die definitionslücke bei x_0=0 liegt,das willst du doch untersuchen

11.02.2010, 16:09

LauderBack

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Wie funktioniert das denn jetzt mit der Gleichung für die senkrechte Asymptote?

Ich bin leicht verwirrt in dieser ganzen Thematik...

11.02.2010, 16:16

TimTim

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Du weisst ja sicher, dass man nicht durch 0 teilen darf oder? Deine Definitionslücke liegt bei deiner Funktion bei x=0 denn wenn du für x eine 0 einsetzt, dann teilst du durch 0 (was du nicht darfst).

Du musst jetzt deine Funktion von zwei Seiten aus betrachten:

1:

Du kommst aus dem negativen also x=-4,x=-3,x=-2 ...und gehst immer weiter an die 0

2.

Du kommst aus dem positiven also x=4,x=3,x=2 ...und gehst immer weiter an die 0

Was passiert denn wenn du jetzt ganzganzganz kleien Werte für x einsetzt?

11.02.2010, 16:59

LauderBack

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Jup.. das weiß ich.

Hmm.. dann nähert man sich etwas an die senkrechte Asymptote?

11.02.2010, 17:45

TimTim

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Ja, du näherst dich immer weiter an die 0 an, erreichst sie aber nie. Du hast hier also eine Asymptote, sowas wird auch Polstelle genannt.

11.02.2010, 18:37

LauderBack

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Ahhh... und was hat es jetzt mit der Gleichung die ich aufstellen soll auf sich?

11.02.2010, 19:00

diemensch

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kennst du die h-methode??
falls ja betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} f(x_0+h) \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} f(x_0-h) \end{eqnarray*}$

11.02.2010, 19:02

LauderBack

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Nein... kenne ich leider nicht....

Ich fange bei dem Thema wirklich bei null an, leider.

11.02.2010, 19:07

diemensch

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hmm wie man das ohne h-methode macht weiß ich leider auch nicht,sorry

11.02.2010, 19:08

crosell_offline

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Hey LauderBack, lass dich nich verwirren. Immer Schritt für Schritt.

Also du hast schon richtig erkannt, die Funktion nähert sich für $\begin{eqnarray*} \lim{x\to 0}\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ immer weiter der senkrechten Polasymptote, in diesem Fall der y-Achse. Warum die y-Achse, naja weil für alle Punkte auf der y-Achse gilt, dass x Null ist. Und so ist dann auch die Asymptotengleichung definiert, du suchst praktisch die lineare Funktion, welche die y-Achse beschreibt, das ist eine senkrechte Gerade im Koordinatensystem, für die eine Bedingung an die x-Werte gestellt wird, die ich dir eben genannt habe. So kannst du dann auch die Gleichung für die y-Achse angeben.

Na kommst du drauf, ist echt nich schwer.

11.02.2010, 19:09

LauderBack

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Okay, trotzdem danke. smile

Werde warten bis mir jemand anderes helfen kann.

11.02.2010, 19:12

LauderBack

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Irendwie komme ich nicht darauf... ich weiß, es ist bestimmt nicht schwer...

verwirrt

11.02.2010, 19:19

crosell_offline

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Hmm schade, aber machen wir es nicht weiter kompliziert die Gleichung der Polasymptote lautet einfach $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , damit werden eindeutig alle Punkte auf der y-Achse charakterisiert, denn für diese gilt, dass die Abzisse (x) eben Null ist. Senkrechte Asymptoten sind immer in der Form $\begin{eqnarray*} x=k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ je nachdem wo dein Pol jeweils ist. Asymptoten können aber auch einfach ganz normale lineare Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ sein. Zum Beispiel wenn du den Grenzwert im Unendlichen betrachtest so wie deine vorige Aufgabe. Dann ist der Grenzwert in dem Fall die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Anschaulich die x-Achse die für große x-Werte nicht unterschritten wird, jedoch sich der Graph immer weiter an die x-Achse schmiegt. (alles bezogen auf dein voriges Problem).

Ich hoffe du hast nen bissl was dazugelernt.

11.02.2010, 19:43

LauderBack

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Tut mir Leid.. aber irgendwie verstehe ich gerade gar nichts mehr...

Ich verstehe einfach nur ganz kleine Bruchstücke.. komme aber mit den Funktionsgleichungen gar nicht mehr klar.

11.02.2010, 21:19

crosell

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Okay ein zusammenfassendes Beispiel zur Veranschaulichung. die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac{1}{x-2}+2 \end{eqnarray*}$ sieht folgendermaßen aus (Rote Kurve). .

Wie sieht der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\pm\infty}f_1(x) \end{eqnarray*}$ aus. Wie man schon an der Funktionsgleichung erkennt wird der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$ unendlich klein, er strebt gegen 0 und zwar für unendlich große negative und positive x-Werte. Dann sind $\begin{eqnarray*} 0+2=2 \end{eqnarray*}$ , d.h. für sehr große x-Werte ist der Grenzwert der Funktion zwei. Wie man am Schaubild gut erkennen kann, nähert sich die Funktion immer weiter der Geraden $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ (Grüne Kurve) an. Sie ist eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ . Die Funktion ist desweiteren an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ nicht definiert, da dort durch Null geteilt werden würde, was ja bekanntlich keinen beschränkten Ausdruck liefert, somit betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2\pm} \end{eqnarray*}$ , das plusminus hinter der zwei bedeutet, dass man sich einmal der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ von links und einmal von rechts nähert. Wie man sehen kann existiert so ein Grenzwert nicht, da für die x-Werte die von links gegen 2 gehen, die Funktionswerte unendlich klein werden, also gegen minus unendlich streben und für x-Werte die von rechts gegen 2 gehen, die Funktion unendlich groß wird, d.h. gegen plus unendlich streben.

Wohl aber kann man sehen, dass der Graph die senkrechte Asymptote $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ die sogenannte Polasymptote nicht überschreitet, egal ob von links oder von rechts. Die Funktion nähert sich zwar immer mehr dieser senkrechten Geraden, schneidet sie aber nie.

An diesem Beispiel erkennt man das sehr gut denke ich. Der Plotter zeichnet leider keine senkrechten Asymptoten, aber du kannst die ja eine senkrechte Linie durch $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ vorstellen denke ich. smile

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