komplexe zahl hoch 3... finde einfach meinen fehler nicht...

10.02.2010, 20:49

bamboozle

komplexe zahl hoch 3... finde einfach meinen fehler nicht...

Hi, ich bin einfach zu doof zum rechnen glaube ich... ich komme hier auf kein richtiges Ergebnis und das macht mich wahnsinnig.

Ich habe die Zahl gegeben:
$\begin{eqnarray*} w= 2\sqrt{3}-2i \end{eqnarray*}$

jetzt soll ich die einfach bloß hoch 3 nehmen. Kein Problem denke ich, aber ich weiß nicht was ich verkehrt mache...

Also ich rechne auf zwei Wegen, einmal nämlich

$\begin{eqnarray*} w^{3} = (2\sqrt{3}-2i)^{3} =(2\sqrt{3}-2i)(2\sqrt{3}-2i)(2\sqrt{3}-2i) =(12-4-8\sqrt{3}i)(2\sqrt{3}-2i) =(8-8\sqrt{3} i)(2\sqrt{3}-2i) =16\sqrt{3}-16i-32i-16\sqrt{3} =64i \end{eqnarray*}$

Auf etwas anderes komme ich da einfach nicht...

dann 2.

$\begin{eqnarray*} w^{3}=4^{3} (cos(\frac{4}{6}\pi) +i sin(\frac{4}{6}\pi)) =64(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) =-32-32\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

da für den Winkel und den Betrag
$\begin{eqnarray*} |w|=4 \phi= cos^{-1} \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{12+4}} = cos^{-1} \frac{\sqrt{3}}{4} =\frac{1}{6}\pi \end{eqnarray*}$

ich glaub ich bin gerade soetwas wie "schneeblind" ich seh es einfach nicht... könnt ihr bitte mal gucken wo sich da der Fehler eingeschlichen hat, ich hab alles schon mehrmals gerechnet, und komm trotzdem nicht drauf Hammer

10.02.2010, 21:00

saz

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RE: komplexe zahl hoch 3... finde einfach meinen fehler nicht...

Zitat:

Original von bamboozle
$\begin{eqnarray*} w^{3}=4^{3} (cos(\frac{4}{6}\pi) +i sin(\frac{4}{6}\pi)) =64(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) =-32-32\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

da für den Winkel und den Betrag
$\begin{eqnarray*} |w|=4 \phi= cos^{-1} \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{12+4}} = cos^{-1} \frac{\sqrt{3}}{4} =\frac{1}{6}\pi \end{eqnarray*}$

In der ersten Zeile oben liegt dein Problem. Wenn du

$\begin{eqnarray*} w = r \cdot (\cos \varphi + \imath \cdot \sin \varphi) = r \cdot e^{\imath \varphi} \end{eqnarray*}$

setzt, dann ist

$\begin{eqnarray*} w^3 = r^3 \cdot e^{\imath (3\varphi)} = r^3 \cdot (\cos (3 \varphi) + \imath \cdot \sin (3 \varphi)) = 4^3 (\cdot \cos \frac{\pi}{2} + \imath \cdot \sin \frac{\pi}{2}) = 64i \end{eqnarray*}$

Kommt zumindest erstmal das gleiche raus wie oben, auch wenn ich da noch nicht sehe wieso aus -16i - 48i plötzlich 64i werden verwirrt

Edit: Laut Rechner sollte -64i rauskommen, also stimmt der erste Lösungsweg bis auf das Vorzeichen, dass du am Ende falsch gesetzt hast (und in der Zeile davor ist auch noch ein Tippfehler).
Jetzt fällt mir auch der Fehler wieder ein: Deine Zahl liegt ja im 4. Quadranten (rechts unten). Die Zahl, die du bei deiner Polardarstellung ermittelt hast, liegt aber im 1. Quadraten (rechts oben). Dies liegt einfach daran, dass der cos symmetrisch zur y-Achse ist. Du solltest den Winkel also lieber über den sin berechnen oder dir geometrisch überlegen, dass es das negative von dem Winkel sein muss, den du beim cos rauskriegst. Also gilt dann $\begin{eqnarray*} \varphi = - \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ und damit kommst du hier auch auf das richtige Ergebnis.

10.02.2010, 21:14

bamboozle

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oh mann super danke...
ist ja ziemlich klar dass da keine 4 sondern eine 3 hingehört, jetzt sehe ichs auch. Das war wohl der selbe Effekt wie wenn man manchmal ewig seinen Schlüssel sucht.
wie schafft man es bloß so oft hintereinander den selben blöden Fehler zu machen?

und beim letzteren meinte ich wohl -64 smile