Surjektivität

10.02.2010, 23:27

D@Npower

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Surjektivität

Hallo Leute!

Kurze Frage: Warum ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{+}_{0} \rightarrow \mathbb R^{+}_{0} ; x \rightarrow x^2 \end{eqnarray*}$ surjektiv?

Dass es injektiv ist, ist mir klar (weil es im Wertevorrat viel mehr Elemente zur Verfügung hätte, diese aber nicht "getroffen" werden)

(f: IN --> IN, x-->x^2 wäre nicht surjektiv, oder?)

Herzlichen Dank für die Hilfe! smile

smile

10.02.2010, 23:32

pseudo-nym

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RE: Surjektivität

Zitat:

Original von D@Npower
Dass es injektiv ist, ist mir klar (weil es im Wertevorrat viel mehr Elemente zur Verfügung hätte, diese aber nicht "getroffen" werden)

Was da in Klammern steht ist die Begründung für: "f ist nicht surjektiv" und das ist nicht der Fall.

Du solltest dir ungedingt nochmal die Definitionen für injektiv und surjektiv anschauen.

Zitat:

Original von D@Npower
(f: IN --> IN, x-->x^2 wäre nicht surjektiv, oder?)

Richtig, aber warum?

10.02.2010, 23:41

D@Npower

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RE: Surjektivität
Nein, bei einer Surjektion hat es im Definitionsbereich mehr verfügbare Elemente, und bei einer Injektion im Wertevorrat.
Das sollte so schon stimmen (so haben wir's auf alle Fälle gelernt...)
Gibt es eine Funktion f: A-->B, so ist A der Definitionsbereich und B der Wertevorrat...

Zum unteren:
f: IN --> IN, x-->x^2
Nicht surjektiv, da der Wertevorrat grösser ist, als der Definitionsbereich (also Injektion).

Ich habe gerade eben gelesen (bei Bijektionen), dass wenn bei einer Funktion f: A-->B, A und B gleich viele Elemente haben, und f injektiv ist (so wie bei der Funktion hier), dass dann f bereits bijektiv ist...wie kann das aber sein, wenn die Funktion nicht surjektiv ist? (oder sind hier die Elemente gemeint, welche auch "getroffen" bzw. "benutzt" werden? (was diese Frage dann beantworten würde..))

11.02.2010, 00:09

lgrizu

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RE: Surjektivität
geh doch einfach mal streng nach definition vor:
sei die funktion
$\begin{eqnarray*} F:A \to B \end{eqnarray*}$ , F ist surjektiv, wenn für alle y aus B ein x aus A existiert mit f(x)=y.
F ist injektiv, wenn für $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ .
nun ist deine funktion sicherlich injektiv, denn keine zwei natürlichen zahlen haben die gleiche quadratzahl.
die frage ist nun, ob F auch surjektiv ist.
dazu überlege, ob es für alle y aus der bildmenge ein x aus der definitionsmenge gibt. das sollte dann die antwort liefern.....
man kann auch überlegen, wie die umkehrfunktion aussieht, und ob für alle elemente die urbilder eindeutig sind...

Zitat:

Original von D@Npower

Ich habe gerade eben gelesen (bei Bijektionen), dass wenn bei einer Funktion f: A-->B, A und B gleich viele Elemente haben, und f injektiv ist (so wie bei der Funktion hier), dass dann f bereits bijektiv ist...

das gilt nur, wenn A und B endliche mengen sind.

11.02.2010, 00:26

pseudo-nym

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RE: Surjektivität
Ich muss das jetzt mal so hart sagen. Dein Beitrag ist auf sprachlichem wie inhaltlichem Niveau wirres Gefasel.

Zitat:

Original von D@Npower
Nein, bei einer Surjektion hat es im Definitionsbereich mehr verfügbare Elemente, und bei einer Injektion im Wertevorrat.

Sprachlich macht das keinen Sinn, da du sagst der Definitionsbereich hätte mehr Elemente, aber gegenüber was sagst du nicht.
Auch hast du zu wenig Begriffe. Du brauchst Definitions-, und Wertemenge sowie den Begriff des Bildes.

Zitat:

Original von D@Npower
Zum unteren:
f: IN --> IN, x-->x^2
Nicht surjektiv, da der Wertevorrat grösser ist, als der Definitionsbereich (also Injektion).

Nach deiner eigenen Definition sind Definitions- und Wertemenge beide $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und somit gleichmächtig.

Nun vermute ich mal, dass du nicht den Wertebereich sondern das Bild von f meintest. Doch selbst dann versagt dein Kriterium, denn der Bildbereich, nämlich die Menge der Quadratzahlen über $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind beide abzählbar unendlich und damit gleich groß.
Somit wäre nach deinem Surjektionskriterium f surjektiv und das ist falsch.

Zu guter Letzt bleibt noch zu erwähnen, dass Sujektivität und Injektivität keine komplementären Begriffe sind. Es gibt Abbildungen die weder surjektiv noch injektiv sind (etwa $\begin{eqnarray*} g: [0, 4 \pi] \to [0, 4 \pi],\, x \mapsto \sin(x) \end{eqnarray*}$ ) und Funktionen die injektiv und surjektiv zugleich sind. Diese nennt man dann (und zwar genau dann) bijektiv.

@Igrizu: unglücklich

unglücklich

11.02.2010, 00:31

D@Npower

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RE: Surjektivität
Wenn man bei der ersten Funktion die Menge der natürlichen Zahlen betrachtet, so gibt es keine Surjektion.
Betrachtet man aber die nichtnegativen, reellen Zahlen, so gibt es eine Surjektion, also auch eine Bijketion.

Die Umkehrfunktion wäre dann doch:
$\begin{eqnarray*} f^{-1} = \mathbb R^{+}_{0} \rightarrow \mathbb R^{+}_{0} ; x \rightarrow \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

--okey, diese Frage ist geklärt smile

smile

(sofern das, was ich geschrieben habe, stimmt smile

smile

) ----

..auch die zweite Frage ist geklärt - IN ist ja gar nicht endlich..sorry smile

smile

Eine Frage zur Surjektion hätte ich allerdings noch - das heisst: zwei:

- Kann man grundsätzlich sagen, dass es zu einer surjektiven Abbildung immer und zu allen betrachteten Elemente ein Urbild geben muss?

- Die Abbildung f: IR --> IR , f(x) = 2x + 1 ist ja surjektiv. Wie geht ihr vor, um das möglichst einfach / rasch zu sehen? Löst ihr nach x auf, um zu sehen, ob jedes y ein Urbild hat, oder wie macht ihr das?
(darf ich noch anfügen? Diese Abbildung ist auch injektiv, nicht wahr?)

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11.02.2010, 00:45

pseudo-nym

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Bei surjektiven Abbildungen hat jedes Elmente der Wertemenge mindestens ein Urbild, ja.

Einfach ist zu sagen das deine Funktion als unbeschänkte stetige Funktion surjektiv ist. Dazu braucht man allerdings den Zwischenwertsatz.

Zu zeigen, dass die Umkehrfunktion (welche monoton ist) injektiv ist sollte es auch tun.

11.02.2010, 00:45

Airblader

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1. Surjektivität alleine gibt nicht Bijektivität - da brauchts immernoch Injektivität!

2. Jeder von einer Abbildung angenommene Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild (denn sonst würde er ja nicht angenommen werden).

3. Bei deinem Beispiel weiß ich einfach sofort, dass es eine (nicht-konstante) Gerade ist, also den ganzen IR abdeckt. Surjektivität sieht man nicht unbedingt durch "Auflösen" (welcher Art auch immer). Anmerkung: Das ist nur das "Sehen". Gehts ums Beweisen, siehe pseudo-nym.

4. Ja, sie ist auch injektiv.

Edit: @pseudo-nym
Huch, da gabs wieder nen Forenstreich. Wurdest als offline angezeigt. Sorry Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

11.02.2010, 00:53

pseudo-nym

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Existenz der Umkehrfunktion reicht schon um Surjektivität zu zeigen, fällt mir gerade auf.

@Airblader: Und ich wunder mich schon, warum alle so tun als sei ich nicht da. geschockt

geschockt

11.02.2010, 00:58

D@Npower

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Achsoo, sobald der Graph einer Funktion ganz IR abdeckt, kann man sagen, dass die Abbildung surjektiv ist? smile

smile

Ich danke euch für eure Hilfe!
Ihr habt mir sehr geholfen smile

smile

11.02.2010, 01:02

pseudo-nym

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Das kann man so sagen. Allerdings sind solche Vorstellungen immmer mit Vorsicht zu genießen.

11.02.2010, 11:33

D@Npower

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Super - herzlichen Dank!

Ich hätte noch eine Frage zu folgendem Fall:

Gesucht sei eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und den natürlichen Zahlen.

Von Z nach N habe ich eine gefunden, nämlich:

x --> |2x| , falls x < 0
x --> |2x| + 1, sonst.

Wie sähe nun aber eine mögliche Umkehrfunktion aus?
Mein Problem ist, dass die Menge der ganzen Zahlen ja "grösser" ist, als jene der natürlichen Zahlen - ich konnte also noch keine Umkehrfunktion finden, so dass jede ganze Zahl "getroffen" wird..

11.02.2010, 12:16

Lord Pünktchen

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Wenn die Abbildung bijektiv ist, gibt es genau eine Umkehrfunktion, nämlich diejenige, welche jedem Wert das eindeutig bestimmte Element seines Urbildes zuordnet.

Also sei n darstellbar als |2x| für ein x aus den negativen ganzen Zahlen. Was heißt das für n?
Was für ein Urbild hat |2x| ?
Und wie sieht es mit n = |2x| + 1 für x aus den nichtnegativen ganzen Zahlen aus?
Was für ein Urbild hat |2x| + 1 ?

11.02.2010, 16:09

D@Npower

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Ahhh

smile

Ich bin nun auf folgendes gekommen:
g: x --> x/2 - x , falls (x mod 2) = 0
x --> (x+1)/2 , sonst

Ich denke, das ist richtig so, oder? smile

smile

Jupiii

11.02.2010, 17:17

Lord Pünktchen

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Na dann schauen wir mal:

2 wird auf die 5 abgebildet
5 wird auf 6/2 = 3 abgebildet.
Da stimmt doch etwas nicht.

Um es kurz zu fassen

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z \to \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z \to 2z + 1~ ,falls~ z \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z \to -2z~ ,falls~ z < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb N \to \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \to -n/2~ ,falls~ n~ gerade \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \to (n-1)/2 ~ ,falls~ n~ ungerade \end{eqnarray*}$

sind die gesuchten Abbildungen

11.02.2010, 17:39

D@Npower

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Ich danke dir vielmals!
Ich habe gerade einen fatalen Denkfehler entdeckt, den ich bis jetzt immer gemacht habe..phuu =)

Eine letzte Frage zu Bijektionen hätte ich allerdings noch:

Wie gehst du vor, wenn du eine Bijektion zwischen
$\begin{eqnarray*} \omega^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$
suchst bzw. finden musst?
Omega sollen hier einfach die natürlichen Zahlen darstellen.

11.02.2010, 17:54

Lord Pünktchen

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Wenn du unter einer Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ eine Abbildung meinst, die sowohl bijektiv ist, als auch $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ abbildet, dann ist die Antwort:

Garnicht. So eine Abbildung wäre nicht surjektiv. Aus dem einfachen Grund:
Nicht jede natürliche Zahl besitzt eine dritte Wurzel, die wieder eine natürliche Zahl ist.

11.02.2010, 18:31

D@Npower

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Stimmt

smile

Besten Dank!

11.02.2010, 20:51

D@Npower

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Sorry, nochmals ich:

Angenommen, ich suchte keine Bijektion, sondern eine Injektion, so würde folgendes funktionieren, oder? :

$\begin{eqnarray*} <a_0, a_1, a_2> \rightarrow 2^{a_0} \cdot 3^{a_1} \cdot 5^{a_2} \end{eqnarray*}$

11.02.2010, 20:56

kiste

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Natürlich gibt es Bijektionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Und ja deine Abbildung ist injektiv

11.02.2010, 21:05

D@Npower

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was wäre dann ein Beispiel für eine Bijektion?
(von N^3 --> N) ?

11.02.2010, 21:08

kiste

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Das kann man imo nicht mehr so leicht einfach angeben.

11.02.2010, 21:18

D@Npower

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Okey - dann wird sowas in dieser Komplexität wohl kaum an einer Prüfung kommen..
Herzlichen Dank euch allen! smile

smile

11.02.2010, 21:36

wisili

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Zitat:

Original von D@Npower
was wäre dann ein Beispiel für eine Bijektion?
(von N^3 --> N) ?

N^3 besteht aus lauter Tripeln (x,y,z) mit x,y,z aus N. Jedes Tripel hat eine Koordinatensumme x+y+z.
Man ordnet nun die Tripel aufsteigend nach der Koordinatensumme an:
(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) (1,1,3) (1,2,2) (1,3,1) (2,1,2) (2,2,1) (3,1,1) (1,1,4) ...
und nummeriert sie fortlaufend.

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