Kugel in Kegel mit Max. Größe

11.02.2010, 10:00

Skype

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Kugel in Kegel mit Max. Größe

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich zuvor die Koordinaten einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ausgerechnet habe. Nun soll ich in der Aufgabe ausrechnen, wie groß der Radius einer Kugel mit max. Größe in diesem Kegel wäre.

Ich habe mir dies bereits graphisch vorgestellt. Dabei ist festzustellen, dass der Mittelpunkt auf der Achse liegt, die senkrecht auf der Grundflächse steht und durch die Spitze geht. Für die Mittelpunktkoordinaten fehlt mir also nur noch h. Des weiteren ist der Mittelpunkt der Schnittpunkt zwischen der Senkrechten der Seiten (hier reicht es ja, wenn man eine nimmt) mit dieser Achse.

Max. und Min. aufgaben werden ja meistens mit erste Ableitung=0 gelöst.

Der Abstand zwischen Mittelpunkt und Grundfläche müsste = Abstand Mittelpunkt Wand sein. (Diese Strecke wäre eine Normale der Wand)

Dennoch weiß ich nicht, wie ich nun weiter vorgehen soll.

ich habe zuvor den schwerpunkt der Wand ausgerechnet. Was vllt. ne Vermutung wäre, dass die Mittelpunkt der Kugel = Schnittpunkt der Achse durch Spitze & Grundfläche sowie Normale durch Schwerpunkt ist. verwirrt

verwirrt

F=(6/0/14)
G=(6/6/14)
H=(0/6/14)
E=0/0/14)

Grundfläche (FGHE)

Pyramidenspitze: T=(3/3/20)

Wand: (EHT) = $\begin{eqnarray*} E1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix} +k*\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} +t* \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wand: (EFT) = $\begin{eqnarray*} E2=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix} +k*\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t* \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n1= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n2= \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.02.2010, 10:12

riwe

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RE: Kugel in Kegel mit Max. Größe
ich denke, am einfachsten löst du das in R2 mit hilfe des strahlensatzes/ähnlichkeit:
betrachte ein gleichschenkeliges 3eck mit basis und höhe $\begin{eqnarray*} c = h = 6 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

zur kontrolle: $\begin{eqnarray*} r =\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1) \end{eqnarray*}$

den mittelpunkt der kugel bestimmst du am einfachsten mit hilfe des mittelpunktes der quadratischen grundfläche

11.02.2010, 10:30

Skype

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RE: Kugel in Kegel mit Max. Größe

Zitat:

ich denke, am einfachsten löst du das in R2 mit hilfe des strahlensatzes/ähnlichkeit: betrachte ein gleichschenkeliges 3eck mit basis und höhe $\begin{eqnarray*} c = h = 6 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

was meinst du mit R2?? kann nicht nachvollziehen, was du meinst. verwirrt

verwirrt

11.02.2010, 10:40

riwe

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RE: Kugel in Kegel mit Max. Größe

Zitat:

Original von Skype

Zitat:

ich denke, am einfachsten löst du das in R2 mit hilfe des strahlensatzes/ähnlichkeit: betrachte ein gleichschenkeliges 3eck mit basis und höhe $\begin{eqnarray*} c = h = 6 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

was meinst du mit R2?? kann nicht nachvollziehen, was du meinst. verwirrt

verwirrt

R3: 3dimensionaler raum
R2: ebene, schneide die pyramide durch die spitze und den mittelpunkt des quadrates parallel zu einer kante desselben

(siehe auch mein edit oben)

aber es geht auch genauso einfach mit hilfe der HNF unglücklich

unglücklich

11.02.2010, 10:57

Skype

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wie du jetzt mit strahlensätzen arbeiten würdest weiß ich nich genau. aber was mir gerade anhand deiner graphik (wie hast du die eigentlich erstellt??) eingefall ist, dass der innenkreismittelpunkt = schnittpunkt der winkelhalbierenden ist :-)

... über die schiene probier ich das jetzt mal.

11.02.2010, 11:19

Skype

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.

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11.02.2010, 11:23

riwe

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brauchst du auch nicht.
wie gesagt ähnlichkeit:

$\begin{eqnarray*} h : \frac{c}{2} = r : .... \end{eqnarray*}$

wenn du es lieber in R3 mit der HNF machen willst, kennst du die verwirrt

verwirrt

11.02.2010, 11:34

Skype

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Zitat:

brauchst du auch nicht. wie gesagt ähnlichkeit: $\begin{eqnarray*} h : \frac{c}{2} = r : .... \end{eqnarray*}$ wenn du es lieber in R3 mit der HNF machen willst, kennst du die

damit meinst du das große dreieck. mit welchem dreieck vergleichst du das denn??

h=c=6

das wäre dann aber doch:

6/(6*2)=0,5

da hast aber was anderes rausbekommen geschockt

geschockt

11.02.2010, 11:59

riwe

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$\begin{eqnarray*} \frac{c}{2}:h = r:\sqrt{(h-r)^2-r^2} \end{eqnarray*}$

woraus man sofort r hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2010, 12:26

Skype

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also ich habe mir jetzt folgendes gedacht:

Wie gesagt: Innenkreis = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

dann habe ich versucht von einer seite aus (nicht aus der ecke) die winkelhalbierende zu finden.
Winkelhalbierende = 2 Gleichlange Vektoren addieren

dafür bin ich von der hälfte der Strecke EF ausgegangen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

strecke von diesem punkt bis T = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix}+k*begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der 2. vektor =

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix} +k*begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

davon habe ich jetzt zunächst die einheitsvektorengebildet. (da: Winkelhalbierende = 2 Gleichlange Vektoren addieren)

also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt{6} } *\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 } *\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beide vektoren addiert gibt dann die winkelhalbierende:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{6}} +1 \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{6}} +1 \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(3/3/t, da die 2. winkelhalbierende die durch die Spitze ist mit der Höhe unbekannt)

das habe ich nach t aufgelöst und kam auf t=15,74

dann hab ich das in die Kugelgleichung eingesetzt:

mein 2. Punkt war (3/3/14)

$\begin{eqnarray*} r^{2}=(3-3) ^{2}+(3-3) ^{2}+(14-15,74) ^{2} \end{eqnarray*}$

dafür ist r= 1,74

sieht hier jemand beim rechenweg nen fehler das ergebnis weicht ja leicht von dem ab, was die graphik vermuten lässt. geschockt

geschockt

11.02.2010, 12:33

Skype

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} h : \frac{c}{2} = r:\sqrt{(h-r)^2-r^2} \end{eqnarray*}$ woraus man sofort r hat Augenzwinkern riwe hat dieses Bild angehängt: pyramidonchen2.jpg

du hast die höhe der dreiecke links im zähler und rechts ist das was der höhe entspricht im nenner?? wie kann das funktionieren??

11.02.2010, 12:40

riwe

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na da liegt einiges im argen Augenzwinkern

Augenzwinkern

das rote und das gelbe dreieck sind ähnlich
begründung verwirrt

verwirrt

nun habe ich es im bilderl so gedreht, dass die winkel "passen".
mit strahlensatz und pythagoras siehst du nun hoffentlich das, was oben steht unglücklich

unglücklich

also ähnliche dreiecke und strahlensatz üben, üben, üben...
das kommt halt immer wieder, wieder, wieder...

11.02.2010, 12:57

riwe

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wenn du das problem so nicht lösen willst, nimm doch die HNF, z.b von $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ aus deinem 1. beitrag

$\begin{eqnarray*} \frac{-2y+z-14}{\sqrt{5}}=0 \wedge M(3/3/14+r) \end{eqnarray*}$

den kugelmittelpunkt einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2\cdot 3+(14+r)-14}{\sqrt{5}}=-r \end{eqnarray*}$

womit du wieder auf das richtige ergebnis kommst.

deinen obigen versuch kann ich in keiner weise verstehen verwirrt

verwirrt

wie kommst du z.b. auf t = 15.74
wenn das eine vektorgleichung sein soll:

$\begin{eqnarray*} 3+\frac{1}{\sqrt{6}}=3 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

11.02.2010, 14:50

riwe

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endlich bin ich schlau geworden.
deine obige idee ist ok Freude

Freude

nur richtig ausführen und vor allem aufschreiben müßte man sie geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3 \\ 0\\ 14\end{pmatrix} +s(\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 0\end{pmatrix} +\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 0 \\1 \\2 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 14 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix} \to r=\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1) \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

11.02.2010, 19:53

Skype

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also das musst du mir jetzt echt nochmal erklären wir du auf deine formel für die strahlensätze kommst.

h=6
c=3

c'=r
h'= $\begin{eqnarray*} \sqrt{(h-r)^{2}-r^{2} } \end{eqnarray*}$

laut strahlenatz gilt:
h:c = h':c'
$\begin{eqnarray*} \frac{6}{3} = \frac{\sqrt{(h-r)^{2}-r^{2} }}{r} \end{eqnarray*}$

siehst du wo mein problem ist. ich kann nicht nachvollziehen warum du r im zähler hast, und warum nicht im nenner. geschockt

geschockt

[attach]13397[/attach]

11.02.2010, 20:32

riwe

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ich sollte auch besser aufpassen unglücklich

unglücklich

da hat sich beim hinmalen ein offensichtlicher fehler eingeschlichen
richtig heißt es - wie du richtig gefunden hast:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{2}:h = r:\sqrt{(h-r)^2-r^2} \end{eqnarray*}$

(ich habe oben den fehler korrigiert)

nur wo ist dann dein problem

nach dem quadrieren hast du

$\begin{eqnarray*} 4r^2=h^2-2rh\to 4r^2+12r-36=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2+3r-9=0\to r=\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1)>0 \end{eqnarray*}$

(woraus man ja sieht, dass es sich um einen tippfehler handelt)

zufrieden Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie ich dir schon geschrieben habe, ist dein weg mit der winkelhalbierenden ok,
wenn auch etwas mühsam verglichen mit oben bzw. HNF

11.02.2010, 23:04

Skype

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also erst nochma danke, dass du mir bei der winkelhalbierenden variante den fehler gezeigt hast :-)

aber bei deiner variante steh ich immer noch vor rätseln.

gut wir sind uns jetzt über diese form hier einig:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{2}:h = r:\sqrt{(h-r)^2-r^2} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt rechne komme ich aber auf ein ganz anderes ergebnis.

ich machs ma schritt für schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{2} :6 = \frac{r}{\sqrt{(6-r)^{2}-r^{2} }} \Rightarrow 0,5^{2} = \frac{r}{(6-r)^{2}-r^{2}} \Rightarrow 0,25 = \frac{r}{(36-12r)} \Rightarrow 0,25(36-12r) = r \Rightarrow 9-3r=r \Rightarrow r=2,25 \end{eqnarray*}$

ich frage mich auf welche formel jetzt die folgende rechnung basiert und wie du hierauf kommst:

$\begin{eqnarray*} 4r^2=h^2-2rh\to 4r^2+12r-36=0 \end{eqnarray*}$

11.02.2010, 23:17

riwe

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Zitat:

Original von Skype
also erst nochma danke, dass du mir bei der winkelhalbierenden variante den fehler gezeigt hast :-)

aber bei deiner variante steh ich immer noch vor rätseln.

gut wir sind uns jetzt über diese form hier einig:

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{2}:h = r:\sqrt{(h-r)^2-r^2} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt rechne komme ich aber auf ein ganz anderes ergebnis.

ich machs ma schritt für schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{2} :6 = \frac{r}{\sqrt{(6-r)^{2}-r^{2} }} \Rightarrow 0,5^{2} = \frac{r}{(6-r)^{2}-r^{2}} \Rightarrow 0,25 = \frac{r}{(36-12r)} \Rightarrow 0,25(36-12r) = r \Rightarrow 9-3r=r \Rightarrow r=2,25 \end{eqnarray*}$

ich frage mich auf welche formel jetzt die folgende rechnung basiert und wie du hierauf kommst:

$\begin{eqnarray*} 4r^2=h^2-2rh\to 4r^2+12r-36=0 \end{eqnarray*}$

ist ja schön, dass du jetzt das zeug mit ähnlichkeit und strahlensatz verstehst smile

smile

jetzt happert es halt dabei:

wenn man "eine gleichung quadriert", muß man halt ALLES quadrieren unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 0.25(36-12r)=r^2 \end{eqnarray*}$

naja, irgendwann haben wir dann die grundregeln durch Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2010, 23:36

Skype

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Zitat:

ist ja schön, dass du jetzt das zeug mit ähnlichkeit und strahlensatz verstehst smile jetzt happert es halt dabei: wenn man "eine gleichung quadriert", muß man halt ALLES quadrieren unglücklich $\begin{eqnarray*} 0.25(36-12r)=r^2 \end{eqnarray*}$ naja, irgendwann haben wir dann die grundregeln durch Augenzwinkern

lol die strahlensätze hab ich die ganze zeit verstanden. ich konnte die gleichung nur wegen deinem fehler nicht nachvollziehen ^^

xD ... ohman warum mach ich immer so scheiß fehler ... naja noch 4 wochen bis zum abi Hammer

Hammer

also vielen vielen dank nochmals für die hilfe Freude

Freude

11.02.2010, 23:39

riwe

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naja, jeder sieht eine andere strahlende wahrheit Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich wünsche dir auf jeden fall viel erfolg beim abi Freude

Freude

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