Taylor-Entwicklung /Restgliedberechnung

11.02.2010, 18:11

TimTim

Taylor-Entwicklung /Restgliedberechnung

Könnte mir jemand genau erklären wie die Restgliedabschätzung bei der Taylorentwicklung lautet?

Ein Beispiel:

Ich möchte Das Retglied $\begin{eqnarray*} R_{1}(x,\xi)=f(x)-T_{1}(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{4} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ berechnen! und es dann nach oben im Intervall [1,3] abschätzen.

Ich bilde also jetzt das Restglied anch folgender Formel:

$\begin{eqnarray*} R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}=\frac{f^{(2)}(\xi)}{2!}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

Hoffe das ist soweit korrekt...

Ich setze jetzt die zweite Ableitung (12x^2) ein und erhalte:

$\begin{eqnarray*} R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}=\frac{f^{(2)}(\xi)}{2!}(x-1)^{2}=\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt das Restglied in 'Lagrange Form'?

Jetzt müsste ich ja 'abschätzen' aber wie geht das? Ich versteh es beim besten Willen nicht und die Klausur ist nächste woche ;-/! Hilfe!

...

11.02.2010, 19:44

system-agent

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Sieht alles OK aus bis hierher.

Ja, das ist die Lagrange-Form.

Nun, da du das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,3] \end{eqnarray*}$ betrachtest, folgt also $\begin{eqnarray*} x\in[1,3] \end{eqnarray*}$ . Wo lebt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ? [siehe Satz über das Restglied].

Meistens schätzt man das Zeugs betragsmässig ab, also bilde
$\begin{eqnarray*} |R_1(x)| \end{eqnarray*}$ .
Was ist also der "worst case", sprich der grösste Wert den $\begin{eqnarray*} |R_1(x)| \end{eqnarray*}$ annehmen könnte?

11.02.2010, 19:53

TimTim

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Laut wiki 'lebt' das 'ksi' im Intervall zwischen x0 und x.

d.h. jetzt also ich soll für ksi einen wert zwischen 1 und 3 einsetzen und schauen für welchen wert mein ergebnis am größten wird?

11.02.2010, 20:01

system-agent

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So in etwa.

$\begin{eqnarray*} |R_1(x)| \end{eqnarray*}$ ist ein Produkt und es wird maximal, wenn $\begin{eqnarray*} \xi^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ maximal werden.
Also wie gross kann es werden?

11.02.2010, 20:04

TimTim

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Da würde ich dann mal spontan sowohl für x als auch für ksi ne 3 einsetzen?

$\begin{eqnarray*} \left|R_{n}(x)\right|=\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2}=108*4=432 \end{eqnarray*}$

so in etwa!?

11.02.2010, 20:12

system-agent

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Ja, das ist korrekt.
Du musst nun noch wirklich begründen wieso du $\begin{eqnarray*} \xi=x=3 \end{eqnarray*}$ setzen darfst und die Notation

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left|R_{n}(x)\right|=\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2}=108*4=432 \end{eqnarray*}$

ist alles andere als Richtig, zb.
--> Wo ist der Betrag hin?
--> Was ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
--> Wieso steht links eine Funktion, rechts eine einzelne Zahl?

11.02.2010, 20:18

TimTim

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Formal so in Ordnung?
$\begin{eqnarray*} \left|R_{1}(x)\right|=\left|\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2}\right| \end{eqnarray*}$

Ich wähle $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \xi=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{1}(x)=432 \end{eqnarray*}$

?

Und mal ne dumme Frage: Ich berechne ja übe die Taylorentwicklung eine polynomielle Funktion die sich an meine Funktion anschmiegt also sie approximiert. Das Restglied ist ja jetzt die Ungenauigkeit zwischen der neuen und der originalen Funktion. ...mit der 432 kann ich jetzt mal absolut garnichts in dem Kontext anfangen?

11.02.2010, 23:03

system-agent

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Ja, so sieht das gleich viel besser aus.
Auch wenn
$\begin{eqnarray*} R_1(x)=432 \end{eqnarray*}$
natürlich immernoch Unsinn ist.
Zum Einen [hier ist es aber tatsächlich egal], hast du $\begin{eqnarray*} |R_1(x)| \end{eqnarray*}$ betrachtet und zum anderen, ist $\begin{eqnarray*} |R_1(x)| \end{eqnarray*}$ eine Funktion und nicht bloss eine Zahl.

Du hast alles abgeschätzt, also schreibe zb. so:

Es ist $\begin{eqnarray*} x\in[1,3] \end{eqnarray*}$ und mit dem Satz über die Lagrange-Restgliedform gibt es für alle $\begin{eqnarray*} x\in[1,3] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \xi\in[1,x] \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} R_1(x)=\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$ .
Schätze nun den maximalen Approximationsfehler der Taylorapproximation im gegebenen Intervall ab:
$\begin{eqnarray*} |R_1(x)|=|\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2}|=\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$
da alles positiv ist. Sicher ist für $\begin{eqnarray*} x\in[1,3] \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (x-1)^2\leq(3-1)^2=4 \end{eqnarray*}$ .
Falls also $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in[1,3] \end{eqnarray*}$ wie oben. Damit gilt $\begin{eqnarray*} \xi^2\leq3^2=9 \end{eqnarray*}$ .
Insgesamt folgt
$\begin{eqnarray*} |R_1(x)|\leq\frac{24\cdot9}{2!}\cdot4=432 \end{eqnarray*}$ .

Kannst du nun mit dem Ergebnis etwas anfangen?

11.02.2010, 23:15

TimTim

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Hi, das mit den Betragsstrichen hatte ich einfach 1:1 von einer anderen Seite übernommen da ich es nicht besser wusste:

Link

Ich denke, das ich zumindest das Prinzip verinnerlicht hab, ob ich das richtig anwenden kann wird sich zeigen. Muss mich jetzt auch erstmal hinlegen sosnt verschlaf ich die nächste Vorlesung morgen. Ich werd morgen/übermorgen nochmal eine solche Aufgabe rechnen und den Weg dann hier reinposten, es wäre schön falls du meinen Rechenweg dort einmal überprüfen könntest.

Deine Rechnung ist einleuchtet und ich kann auch alles nachvollziehen aber es ist halt imemr etwas anderes wenn man sowas selber macht deswegen will ich mich einfach noch nicht so weit aus dem Fenster lehnen und sagen, dass ichs jetzt 100% verstanden hab. Ich danke dir auf jedenfall für die tolle Hilfe, das hier hat mir mehr gebracht als 2std Vorlesung!

13.02.2010, 18:07

TimTim

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Hallo, da melde ich mich nochmal! Ich hab hier noch eine Altklausuraufgabe gefunden die der oberen sehr sehr ähnlich war und wollte nachfragen ob meine Antworten so richtig wären!

Die Funktion ist wieder f(x)=x^4

Frage a: Geben Sie das Restglied $\begin{eqnarray*} R_{2}(x)=f(x)-T_{2}(x) \end{eqnarray*}$ in Lagrange-Form an.

Frage b:

Geben Sie eien Konstante C und ein a an, so dass $\begin{eqnarray*} \left|R_{2}(x)\right|\leq C\left|x-x_{0}\right|^{a} mit x\in[0,2] \end{eqnarray*}$ gilt.

Antwort a (nicht formal):

$\begin{eqnarray*} R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\rightarrow R_{2}(x)=\frac{24\xi}{6}(x-1)^{3} \end{eqnarray*}$

Antwort b:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{24\xi}{6}(x-1)^{3}\right|\leq8\left|x-x_{0}\right|^{3}\rightarrow\alpha=3,C=8 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

13.02.2010, 18:25

TommyAngelo

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RE: Taylor-Entwicklung /Restgliedberechnung

Zitat:

Original von TimTim
Ich setze jetzt die zweite Ableitung (12x^2) ein und erhalte:

$\begin{eqnarray*} R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}=\frac{f^{(2)}(\xi)}{2!}(x-1)^{2}=\frac{24\xi^{2}}{2!}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$
...

Müsste da nicht eine 12 statt der 24 stehen?

13.02.2010, 18:26

TimTim

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kleiner Tippfehler innerhalb der Formel... (n+1)=3 nicht 2!

...kanns auch nichtmehr editieren ;-/

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Taylor-Entwicklung /Restgliedberechnung

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