Anfangswertproblem - Problem ;)

11.02.2010, 18:46

DerHeld

Anfangswertproblem - Problem ;)

Hallo, ich stehe irgendwie total auf dem Schlauch
und bin leider Mathematisch absolut unbegabt und komme deshalb nicht weiter unglücklich

Also ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^{2}y'(x) +xy(x) = 1 ; y(1) = 0, x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich versucht, das homogene System (= 0) zu lösen

also

$\begin{eqnarray*} x^2*dy/dx = -xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/y*dy = - 1/x * dx \end{eqnarray*}$

habe beide Seiten integriert und kam auf

$\begin{eqnarray*} ln(y) = -ln(x) + C \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} y = x^{-1} * e^{C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(x) = (1/x) * C_2(x) \end{eqnarray*}$

das habe ich dann versuch Abzuleiten mit
$\begin{eqnarray*} u = 1/x ; u'= -1/(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = C_2(x) ; v'= C_2'(x) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} y'(x) = \frac{-\frac{1}{x^2}C_{2}(x) - 1/x * C_{2}'(x) }{C_{2}(x)^{2}} \end{eqnarray*}$

und y(x) und y'(x) in die Ausgangsgleichung eingesetzt

also

$\begin{eqnarray*} \frac{-C_{2}(x) - x*C_{2}'(x)}{C_2(x)^2} + C_2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierher korrekt?

Was muss ich denn jetzt machen um das System zu lösen hab leider keine Ahnung
und keine nützlichen Aufzeichnungen mehr =(

11.02.2010, 19:04

vektorraum

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RE: Anfangswertproblem - Problem ;)

Zitat:

Original von DerHeld
also
$\begin{eqnarray*} y = x^{-1} * e^{C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(x) = (1/x) * C_2(x) \end{eqnarray*}$

Du solltest das x wegnehmen, die Lösung der homogenen Dgl. ist ja bezüglich der Konstanten nicht von x abhängig.

Erst für Variation der Konstanten setzt man C=C(x). Vielleicht ein kleiner Tipp:

$\begin{eqnarray*} y_s(x)=C(x)\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$

könnte man wesentlich leichter (vlt. auch schneller) mit der Produktregel ableiten. Bei Variation der Konstante muss auf alle Fälle das C=C(x) wegfallen.

11.02.2010, 19:34

DerHeld

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Wie meinst du das mitd em x weglassen?

Also ich habe das mit der Produktregel probiert
und siehe da das C is wirklich weggefallen

ich hatte nach dem Einsetzen noch übrig

$\begin{eqnarray*} x*C_2'(x)=1 \end{eqnarray*}$

habe mal beide Seiten integriert und kam auf

$\begin{eqnarray*} C_2(x) = ln(x) + C \end{eqnarray*}$

könnte das stimmen?
Wie fahre ich jetzt fort?

11.02.2010, 19:47

vektorraum

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Zitat:

Original von DerHeld
Wie meinst du das mitd em x weglassen?

Du solltest zwischen spezieller Lösung und Lösung der homogenen Dgl. unterscheiden. Bei der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl. ist C=const, und nicht wie bei dir formuliert von x abhängig.

Zitat:

Original von DerHeld
Also ich habe das mit der Produktregel probiert
und siehe da das C is wirklich weggefallen

ich hatte nach dem Einsetzen noch übrig

$\begin{eqnarray*} x*C_2'(x)=1 \end{eqnarray*}$

habe mal beide Seiten integriert und kam auf

$\begin{eqnarray*} C_2(x) = ln(x) + C \end{eqnarray*}$

könnte das stimmen?
Wie fahre ich jetzt fort?

Das ist richtig, die Konstante kannst du weglassen, da du ja nur eine spezielle Lösung brauchst. Das $\begin{eqnarray*} C_2(x) \end{eqnarray*}$ setzt du wieder in den Ansatz für die spezielle Lösung ein $\begin{eqnarray*} y_s(x) \end{eqnarray*}$ .

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