Flußintegral (Satz von Gauß)

11.02.2010, 19:17

Hilfebedürftiger

Flußintegral (Satz von Gauß)

Behauptung:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{v}: \mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld und dK die Oberfläche einer Kugel. Ferner gelte $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \int_{dK}^{} \! \vec{v} \, d\vec{O}=0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} div (\vec{v})=0 \end{eqnarray*}$

Die Divergenz und das Flußintegral haben mich erst einmal auf den Satz von Gauß gebracht (= 0 gilt hier nur aufgrund der Voraussetzung):

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \int_{dK}^{} \! \vec{v} \, d\vec{O}=\int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! \, \int_{K}^{} \! div(\vec{v}) \, dV =0 \end{eqnarray*}$

Rein aus dem Bauchgefühl würde ich sagen die Behauptung ist falsch, denn nur weil ein Integral den Wert 0 annimmt muss der Integrand nicht zwangsläufig auch gleich 0 sein.

Zufrieden bin ich damit aber nicht und ich probiere mir beide Integrale zu veranschaulichen, was mir bisher nicht so recht gelingt.

Exkurs:
Wenn ich annehme dass das Vektorfeld fließendes Wasser beschreibt dass in einen Körper K ein- und ausströmt, dann beschreibt das Oberflächenintegral den Ein- und Austritt. Das Volumenintegral über der Divergenz beschreibt wieviel Wasser im Körper dazukommt oder verschwindet. Wenn meine Differenz zwischen Ein- und Austritt z.B. 5l ist, weil 10l reingehen und 5l rauskommen, dann im verschwinden im Körper 5l. Also ist mein Verlust im Innern 5l.

Kommt jetzt aber genauso viel raus wie reinkommen ist, also wenn das Oberflächenintegral 0 ist, muss auch das Volumenintegral 0 sein. Nur weil aber das Volumenintegral 0 ist heißt es noch lange nicht dass die Divergenz 0 ist, oder?

Auf der anderen Seite ist die Divergenz auch wieder die Quelldichte meines Vektorfeldes. Wenn im Innern kein Wasser dazukommt, sollte dann nicht auch die Quelldichte gleich 0 sein?

Ich bin verwirrt

11.02.2010, 20:24

OmegaPirat

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Hallo
Grundsätzlich hast du natürlich Recht, dass eine funktion in einem volumenintegral nicht null sein muss, wenn das Integral null ist.
Wenn aber die Divergenz im Integral steht, ist es jedoch tatsächlich so, dass die Divergenz null ist, wenn das Volumenintegral null ist.
Ich kann dir dies plausibel machen, wenn man sich auf die Defintion der Divergenz beruft. Meistens weiß man ja wie man die Divergenz über Ableitungen berechnet, jedoch ist sie anders definiert, woher auch die interpretation der Divergenz als Quelldichte kommt.
Also die divergenz ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} div(v)=\lim_{V \to 0} \frac{1}{V}\int_F \! v \, d^2r \end{eqnarray*}$

Also das bedeutet, dass man ein volumen hat, welches von der Fläche F umschlossen wird, man integriert über die gesamte fläche, v ist ein beliebiges vektorfeld. Und V ist das volumen, dieses zieht man auf einen punkt zusammen. daraus kann man sich jetzt selbst einfach überlegen, wieso in deinem fall die divergenz null ist.
Die darstellung der divergenz über den nablaoperator lässt sich daraus herleiten, für einen spezialfall (würfel) ist das recht einfach, für den allgemeinen fall, sollte man dazu schon ein wenig über die Theorie der Differentialformen gehört haben.

11.02.2010, 23:55

Hilfebedürftiger

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Komisch, die Lösung sagt aber dass die Behauptung falsch ist. Ob es daran liegt dass das Oberflächenintegral in der Aufgabenstellung über K geht und nicht wie von mir geschrieben über dK ?

12.02.2010, 00:23

Rmn

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Zitat:

Original von Hilfebedürftiger
Ob es daran liegt dass das Oberflächenintegral in der Aufgabenstellung über K geht und nicht wie von mir geschrieben über dK ?

Genauer bitte.
Sobald es nicht für jeden K gelten soll, könnte ich mir vorstellen, dass in K eine Quelle und eine Senke liegen könnten, somit könnten Flußintegral auch Null ergeben. Divergenz bezieht sich aber auf einen einzigen Punkt, da hat man nur das eine.

12.02.2010, 09:35

Hilfebedürftiger

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Behauptung:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{v}: \mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld und K die Oberfläche einer Kugel. Ferner gelte $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \int_{K}^{} \! \vec{v} \, d\vec{O}=0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} div (\vec{v})=0 \end{eqnarray*}$

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So lautet die Aufgabenstellung im Original. da im Text steht dass K die Oberfläche ist und nicht die Kugel selbst wird es wohl auch nicht am "fehlenden" Delta liegen.

Ich hatte das Delta ergänzt weil in meiner Definition ein Delta B steht. Allerdings ist B dort der Bereich und dB der Rand (Fläche). Da in der Aufgabenstellung aber steht das K die Oberfläche der Kugel ist wird das wohl auch nicht der Knackpunkt sein.

Die Lösung jedenfalls meint diese Behauptung ist falsch. Lösungen müssen nicht immer richtig sein, ist aber wenigstens die Lösung einer Klausuraufgabe und die sind zumindest bei diesen "kurzen" Theorieaufgaben doch sehr selten falsch.

Ich habe mir nochmal folgendes Überlegt: Die Differenz zwischen Ein- und Austritt durch die Oberfläche von K ist Null. Nach Gauß ist dann auch das was im Körper "passiert" Null, es kommt also nichts dazu. Wenn nichts dazukommt muss auch die Bilanz von Quellen und Senken gleich null sein, also könnte man es ja als quellfrei betrachten. Wikipedia schreibt nun:

Ist die Divergenz überall gleich Null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Also müsste auch die Divergenz gleich Null sein. Dann wäre die Lösung falsch.

12.02.2010, 18:42

Hilfebedürftiger

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Also ich würde nun sagen die Behauptung stimmt, weil die Differenz zwischen Aus- und Eintritt aus der Oberfläche null ist. Nach Satz von Gauß ist dann die Bilanz von Quellen und Senken null, also ist das Vektorfeld quellfrei. Damit wäre div v = 0.

Passt aber nach wie vor nicht zur Lösung verwirrt

13.02.2010, 09:15

Huggy

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Zitat:

Original von Hilfebedürftiger
Also ich würde nun sagen die Behauptung stimmt, weil die Differenz zwischen Aus- und Eintritt aus der Oberfläche null ist. Nach Satz von Gauß ist dann die Bilanz von Quellen und Senken null, also ist das Vektorfeld quellfrei. Damit wäre div v = 0.

Das ist Unfug! Dir scheint nicht klar zu sein, dass $\begin{eqnarray*} div \ \vec v \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist und keine Zahl. Die Behauptung der Aufgabe besagt, dass diese Funktion im gesamten Integrationsgebiet 0 ist. Damit das Integral über eine Funktion 0 ist, muss aber die Funktion nicht in dem Integrationsgebiet identisch 0 sein. Es genügt, dass sich die positiven und negativen Beiträge gegenseitig kompensieren. Das sollte dir schon aus der Integralrechnung mit einer Variablen bekannt sein.

Die offizielle Lösung der Aufgabe ist korrekt.

Vielleicht erleichert dir ein Beispiel das Verstandnis. Sei

$\begin{eqnarray*} \vec v =(\frac{1}{2}x^2, 0, 0) \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} div \ \vec v = x \end{eqnarray*}$

Und es ist offensichtlich sowohl

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \int \int \int_K div \ \vec v \ dV = 0 \end{eqnarray*}$

als auch

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \int \int_{\partial K} \vec v \ d\vec O = 0 \end{eqnarray*}$

Du kannst das leicht übungshalber explizit nachrechnen. Das ist aber nicht notwendig, denn bei Gl. (1) heben sich die Teile des Integrals über die Halbkugeln mit $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ offensichtlich gegenseitig auf. Und nach dem Satz von Gauß gilt dann auch Gl. (2). Ohne den Satz von Gauß sieht man das bei Gl. (2) z. B. so: Geht man von einem Punkt (x, y, z) auf der Kugeloberfläche zu dem Punkt (-x, -y, -z), dann ist

$\begin{eqnarray*} \vec v(x, y, z) = \vec v(-x, -y, -z) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} d\vec O(x, y, z) = -d\vec O(-x, -y, -z) \end{eqnarray*}$

Also heben sich die Beiträge von diametral gegenüberliegenden Punkten in dem Oberflächenintegral gegenseitig auf.

13.02.2010, 11:24

Hilfebedürftiger

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Vielen Dank für die Antwort! Freude

Dass die Divergenz immer ein Skalar ist und keine Funktion habe ich jetzt aber auch nicht behauptet. Und das auch Integrale über Funktionen Null sein können (Bsp. f(x)=x auf dem Intervall von -1 bis 1) ist mir auch klar (siehe 1. Beitrag).

Mathematisch macht das auch alles Sinn und ist absolut nachvollziehbar. Auf meine Veranschaulichung kann ich es jetzt nicht direkt übertragen, aber mathematisch macht es Sinn.

13.02.2010, 13:10

Huggy

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Wenn dir das alles so klar ist/war, liegt dein Problem vielleicht simpel im Verständnis von 'quellfrei'?

Ein Vektorfeld heißt in einem Gebiet G quellfrei, wenn es in G keine Quellen oder Senken hat. Wenn es Quellen und/oder Senken hat, ist es nicht quellfrei, selbst dann nicht, wenn diese sich so kompensieren, dass das Volumenintegral der Divergenz des Feldes über G Null ergibt.

Um aus Oberflächenintegral = Null auf Divergenz = 0 schließen zu können, genügt es nicht, dass das Oberflächenintegral von G Null ist. Dazu muss das Oberflächenintegral für jede geschlossene Fläche innerhalb von G Null sein.

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