Grenzswert L'Hospital

11.02.2010, 21:36

Maria3

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Grenzswert L'Hospital

Hallo,
wie berechne ich den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -0} (1-2^x)^x \end{eqnarray*}$

Ich habe schon L'Hospital angewandt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -0} \frac{2^x\cdot ln 2 \cdot x^2}{1-2^x} \end{eqnarray*}$

Aber das hilft mir doch jetzt auch nciht weiter, oder?

11.02.2010, 22:05

Maria3

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das e^hab ich vergessen.

11.02.2010, 22:10

crosell

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RE: Grenzswert L'Hospital
da musst du schon etwas genauer werden, wo kommt ein e^ hin

11.02.2010, 22:22

crosell

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RE: Grenzswert L'Hospital
Schon gut, ich hab deinen Term eben nachvollzogen, du meinst das, was ich auch meine. Der Ausdruck ist wieder von der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ wenn x gegen Null geht. Wende de L'Hospital daher einfach nochmal an. Bei der nächsten Ableitung wirst du sehen kommst du auf einen Grenzwert Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2010, 22:26

Iorek

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Um welchen Term geht es denn, ich kann den noch nicht so ganz nachvollziehen, alle Terme die ich mir bastel folgen direkt aus den Grenzwertsätzen und brauchen kein l'Hospital Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2010, 22:31

Maria3

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Zitat:

Original von Iorek
Um welchen Term geht es denn, ich kann den noch nicht so ganz nachvollziehen, alle Terme die ich mir bastel folgen direkt aus den Grenzwertsätzen und brauchen kein l'Hospital Augenzwinkern

Augenzwinkern

In wiefern im ersten 0^0 im Zweiten 0/0

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11.02.2010, 22:32

crosell

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gemeint ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0-}e^{ln(1-2^x)^x} \end{eqnarray*}$ . Sicherlich kann man das auch wieder eleganter ohne de L'Hospital lösen.

Mich erinnert der Ausdruck doch sehr an e in irgendeiner Weise. Sicherlich kann man das soweit umformen, dass man auf $\begin{eqnarray*} e^0 \end{eqnarray*}$ als Grenzwert kommt, nach Grenzwertsätzen. Wär nett wenn du das eben mal postest Iorek, ich sehs gerade nicht. Big Laugh

Big Laugh

11.02.2010, 22:34

Maria3

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So nochmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -0}e^{-2x\cdot ln 2} \end{eqnarray*}$ Also 1

11.02.2010, 22:35

Iorek

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Na, $\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ , also bekommen wir genau den Ausdruck den maria3 ganz am Anfang gepostet hat, $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (1-2^x)^x \end{eqnarray*}$ , und was spricht dagegen, hier einfach den Grenzwert direkt zu berechnen?

Edit: Wenn das was Maria gerade gepostet hat der Ausgangsterm ist, geht das natürlich nicht...heiteres Rätselraten am Fettdonnerstag Big Laugh

Big Laugh

11.02.2010, 22:35

Maria3

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Ja und das ist 0^0

11.02.2010, 22:37

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist aber kein Grund für l'Hospital Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2010, 22:37

Maria3

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Ja aber wie berechnet man das da? Weil 0^0 ist undefiniert.

11.02.2010, 22:40

crosell

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Naja eher $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ wenn man vom Ausgangsterm ausgeht. Das $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ ist, ist ja logisch es geht doch gerade darum, diese quasi nichts verändernde Umformung zu machen, um über anwendung von Logarithmengesetzen den Term soweit umzuformen, um einen unbestimmten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ zu erhalten und dann de L'Hospital einfach auf den Exponenten der e-Funktion anzuwenden. Vieeeele Wege führen nach Rom sag ich da nur Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um nochmal auf Maria zurückzukommen. Am Ende müsstest du sowas wie $\begin{eqnarray*} e^{-(2x+x^2\cdot ln2)} \end{eqnarray*}$ haben und das geht gegen 1 für x gegen Null ja. Du hattest das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ irgendwie beim zweiten mal ableiten unterschlagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

So und jetzt würde ich gern nochmal die schlichte !!! Grenzwertmethode sehen, weil ich scheinbar abends um halb elf am Fettdonnerstag nix mehr seh traurig

traurig

(hatte mich mit schlecht vertippt)

11.02.2010, 22:42

Iorek

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Das ist ein anderes Problem; du hast insofern Recht, dass es für 0^0 keine allgemeingültige Definition gibt. Es treten aber wie hier z.B. Fälle auf, wo eine Definition zwingen notwendig wird. Dazu hatten wir auch letztens schonmal eine kleine Diskussion, es gibt noch weitere Beispiele, wo eine Definition von 0^0 notwendig wird, und bei diesen Fällen definiert man sich 0^0=1, ganz so, als würde man irgendeine andere Zahl a^0 berechnen.

11.02.2010, 22:46

crosell

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@Iorek ist das eine Konvention oder folgt dieser Schluss einem striktem mathematischem Beweis? Wenn ja, habe ich von dieser Konvention in der Vorlesung noch nix gehört. Bei uns fiel $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ einfach unter undefiniert so wie z.B. $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ und war dann im einzelfall zu betrachten.

11.02.2010, 22:48

Maria3

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der Google Rechner meint 1. Mathematica undefiniert.

11.02.2010, 22:50

Iorek

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@Maria, mein Taschenrechner mein 1 und nach meinem Wissen und unserer Vorlesung kommt auch handschriftlich bei mir 1 Raus.

@crosell: Das wurde bei uns in der Vorlesung so vereinbart, einen echten Beweis habe ich nicht, allerdings eine logische Schlussfolgerung die, auf unser Beispiel in der Vorlesung angewandt, also nicht allgemeingültig, für 0^0 nur die 1 zulässt ausgehend von der Reihendarstellung des Cosinus für x=0.

Edti: @Maria, was jetzt nicht zu 100% heißt, dass 1 richtig ist, du merkst aufgrund der Diskussion hier, dass 0^0 grenzwertig zu betrachten ist. Nach unserer Vorlesung wäre es , bei Crosell würde der Grenzwert nach dem Rechenweg vllt. gar nicht existieren, jenachdem wie die Vorlesung strukturiert ist.

11.02.2010, 22:58

Maria3

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Das ist auch interessant:
wolframalpha.com/input/?i=Limit%280^x%2Cx--%3E0%29

11.02.2010, 22:59

Maria3

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unter wiki steht auch was:

de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#.E2.80.9ENull_hoch_null.E2.80.9C

11.02.2010, 23:15

crosell

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@Iorek. Danke für die Info, werd mich mit der Reihendarstellung in diesem Zusammenhang dann nochmal auseinandersetzen.

@Maria oder eigentlich an beide. Der Grenzwert mit 1 stimmt. Ich hol jetz mal weiter aus.

$\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist ein unbestimmter Ausdruck (nehmen wir es mal an). Wir wollen de L'Hospital anwenden können, dazu brauchen wir aber einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Dazu bedienen wir uns eine Trickes. Wir setzen $\begin{eqnarray*} f(x)=(1-2^x)^x \end{eqnarray*}$ in den natürlichen Logarithmus und dann in den Exponenten der e-Funktion. Das sieht dann so aus $\begin{eqnarray*} e^{ln(1-2^x)^x} \end{eqnarray*}$ und betrachten davon den Grenzwert gegen die Stelle 0.

Warum können wir das machen. Ganz einfach weil sowohl die e-Funktion als der auch der natürliche Logarithmus stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind. Insbesondere ist damit Grenzwertbildung und Funktionswertbetrachtung an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in unserem Falle 0 vertauschbar.

Nun können wir aber Logarithmengesetze anwenden. Es gilt: $\begin{eqnarray*} e^{ln(1-2^x)^x}=e^{x\cdot ln(1-2^x)}=e^{\frac{ln(1-2^x)}{\frac{1}{x}}} \end{eqnarray*}$ . Das geht nun für x gegen Null gegen $\begin{eqnarray*} e^{\frac{\infty}{\infty}} \end{eqnarray*}$ somit können wir de L'Hospital darauf anwenden, und zwar gleich auf den Exponenten wegen Stetigkeit.

Somit bekommen wir (ich notiere jetzt nur noch die Exponenten):

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0-}\frac{ln(1-2^x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0-}\frac{x^2\cdot 2^x\cdot ln2}{1-2^x}=\frac{0}{0}=\lim_{x\to 0-}\frac{ln2\cdot (2x\cdot 2^x+ln2\cdot 2^x \cdot x^2)}{-ln2\cdot 2^x}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ . Somit einen eindeutigen Grenzwert für die Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nachtrag der Logarithmus ist natürlich nur innerhalb seines Definitionsbereiches stetig und der wären die positiven reelen Zahlen. In dem Kontext ist das aber dennoch statthaft, da wir es ja mit positiven Zahlen zu tun haben, durch $\begin{eqnarray*} 1-2^x \end{eqnarray*}$ kommt man ja von links gegen die Null. smile

smile

11.02.2010, 23:18

Maria3

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Ja so habe ich das auch gerechnet. Ergebnis hatte ich vorhins ja auch schon geschrieben. Die Frage ist eben nur, ob das Zufall ist, dass in diesem Fall auch das 0^0 auf das gleiche kommt. Oder ob man das generell anwenden kann.

11.02.2010, 23:18

jester.

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@Iorek: Die dir aus unserer Vorlesung geläufige Festlegung $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ hat nichts mit Funktionsgrenzwerten zu tun. Es gilt beispielsweise $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0}\exp\left(-\frac 1 x\right)=0,~ \lim_{x\downarrow 0}x=0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0}\left(\exp\left(-\frac 1 x \right)\right)^x=e^{-1} \end{eqnarray*}$ (nach der angegebenen Wikipedia-Seite).

11.02.2010, 23:22

Iorek

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Ich habe auch nicht gesagt, dass das was damit zu tun (hab mich vllt. etwas unglücklich ausgedrückt). Ich hab lediglich gesagt, dass 0^0 nicht allgemein definiert ist und sich die Fachleute darüber noch immer streiten, es aber durchaus Sinn macht, sich 0^0 für bestimmte Anwendungen zu definieren (in unserem Fall war das nunmal immer für 0^0=1 notwendig, weshalb wir das am Anfang der Vorlesung so vereinbart haben)

11.02.2010, 23:26

crosell

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Immer wieder interessant was unbestimmte Ausdrücke doch für Irritationen hervorrufen können. smile

smile

Ich für meinen Teil beschränke mich darauf, unbestimmbare Ausdrücke in bestimmbare umzuwandeln sofern das möglich ist. Konventionen sind ne nette Abkürzung, aber manchmal eben doch net Streitpunkt wie man sieht. Ich bin weg für heut Wink

Wink

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