Komplexe Gleichung

11.02.2010, 21:52

Karl W.

Komplexe Gleichung

Hallo,
wie löse ich eine solche Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^2(1+i)=2z \end{eqnarray*}$

Kann ich da erst einmal umformen:

$\begin{eqnarray*} z=\frac 2 {1+i} \end{eqnarray*}$

oder ist das nicht zulässig?

11.02.2010, 21:59

IfindU

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RE: Komplexe Gleichung
Damit hast du eine Lösung versehentlich eliminiert. Klammere lieber aus statt zu teilen.

11.02.2010, 22:03

Karl W.

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Da komme ich doch aber auch nicht weiter, oder?

$\begin{eqnarray*} z (z(1+i)-2)=0 \end{eqnarray*}$

11.02.2010, 22:05

IfindU

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Doch, nun kannst du nämlich argumentieren wann ein Produkt 0 wird. Damit hast du eine Lösung mehr.

11.02.2010, 22:08

Karl W.

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Ah stimmt danke.

Also

$\begin{eqnarray*} z=0\wedge (1-i) \end{eqnarray*}$

11.02.2010, 22:10

Karl W.

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$\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ meine ich

11.02.2010, 22:13

IfindU

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Die Schreibweise ist mir so nie begegnet:
$\begin{eqnarray*} z=0\vee z = 1-i \end{eqnarray*}$

So würde ich es kennen, aber die Lösungen an sich stimmen Freude

11.02.2010, 22:15

Karl W.

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Ok du hast wahrscheinlich recht. SO kenne ich sie eigentlich auch.

Dann habe ich noch so eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} |z|=z\cdot \overline z \end{eqnarray*}$

das habe ich umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2}=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ Also scheinbar irgendwas mit Kreis.

11.02.2010, 22:22

IfindU

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Um das rauszufinden forme doch erstmal um. Hier würde es sich anbieten genauso vorzugehen wie oben, also Ausklammern, oder etwas schneller, die "triviale" Lösung schon zu notieren und dann munter zu teilen. Wird aufs gleiche hinauslaufen.

11.02.2010, 22:27

Karl W.

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Wie handhabe ich da den Betrag beim ausklammern? Und mit meinem Weg müsste man doch auch irgendwie hinkommen, oder?

11.02.2010, 22:42

corvus

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Zitat:

Dann habe ich noch so eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} |z|=z\cdot \overline z \end{eqnarray*}$

da bist du dann etwas schneller, wenn du verwendest, dass

$\begin{eqnarray*} z\cdot \overline z = |z|^2 \end{eqnarray*}$

also sieht deine Aufgabe so aus :

$\begin{eqnarray*} |z| = |z|^2 \end{eqnarray*}$

oder wie oben schon mal: $\begin{eqnarray*} |z| *( |z| - 1) = 0 \end{eqnarray*}$

|z|=0 ..
|z|=1 .. Einheitskreis

fertig smile

11.02.2010, 22:48

IfindU

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Ich hätte dann:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = \sqrt{x^2 +y^2}^2 \end{eqnarray*}$
benutzt, aber mit der Idee von corvus gehts auch fix.

12.02.2010, 10:45

Karl W.

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Wie würde man denn da jetzt weitermachen?

Und Wie mache ich das, wenn ich nichts so einfach ausklammern kann wie hier:

$\begin{eqnarray*} z^2-z+iz-i=0 \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 11:00

Karl W.

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Achja in der Aufgabe mit dem Kreis steht in den Lösungen. Kreis um Z0=1 mit r=1. z0 ist doch aber 0 oder?

12.02.2010, 11:21

corvus

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Zitat:

Original von Karl W.
Wie würde man denn da jetzt weitermachen?

Und Wie mache ich das, wenn ich nichts so einfach ausklammern kann wie hier:

$\begin{eqnarray*} z^2-z+iz-i=0 \end{eqnarray*}$

löse die Gleichung w²= i/2 ... mit $\begin{eqnarray*} w= z - \frac{1-i}{2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} w^2 = \frac{1}{2}[ cos(90°+k*360°) + i*sin(90°+k*360°)] \end{eqnarray*}$ ... k= 0 , 1 ,...

setze dann für die zwei Lösungen wieder ein in :

$\begin{eqnarray*} z = w + \frac{1-i}{2} \end{eqnarray*}$

welche zwei ganz! einfachen Lösungen bekommst du dann für z raus?

Zitat:

Achja in der Aufgabe mit dem Kreis steht in den Lösungen.
Kreis um Z0=1 geschockt

mit r=1.
z0 ist doch aber 0 smile

oder?

12.02.2010, 11:29

Karl W.

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Deinen ansatz mit w^2=i/2 kann ich leider nicht ganz nachvollziehen.

Ich habs inzwischen so gelöst. Aber dein Ansatz interessiert mich trotzdem:

$\begin{eqnarray*} (z-1)(z+i)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=1 \vee z=-i \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 20:20

Karl W.

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Was auch noch offen ist, ist wie man von dem Ansatz: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = \sqrt{x^2 +y^2}^2 \end{eqnarray*}$ auf den Kreis kommt.

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