Aufgabe zur Vollständigen Induktion

12.02.2010, 01:48

student10

Aufgabe zur Vollständigen Induktion

Hallo zusammen,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Zeigen Sie, dass fuer alle natuerlichen Zahlen n >= 2 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (\frac{i}{i+1}) < \frac{n^{2}}{n+1} , n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Viele Grueße

12.02.2010, 02:41

pseudo-nym

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Eigene Ansätze?

12.02.2010, 02:54

outSchool

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RE: Aufgabe zur Vollständigen Induktion

Zitat:

Original von student10
Hallo zusammen,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Zeigen Sie, dass fuer alle natuerlichen Zahlen n >= 2 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (\frac{i}{i+1}) < \frac{n^{2}}{n+1} , n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Viele Grueße

Zeige, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \left( \frac{i}{i+1} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{i+1} \right) + \frac{n+1}{n+2} < \frac{n^{2}}{n+1} + \frac{n+1}{n+2} \leq \frac{(n+1)^2}{n+2} \end{eqnarray*}$

Noch ein Tipp.

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{n+2} = \frac{(n+1)^3}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^3+3n^2+3n+1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 03:50

WebFritzi

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Schön, dass du ihm die Lösung gibst, ohne dass er einen Finger gerührt hätte.

outSchool, du bist ein Held. Freude

12.02.2010, 11:13

student10

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Also ist dieser Lösungsweg dann richtig????

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \left( \frac{i}{i+1} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{i+1} \right) + \frac{n+1}{n+2} < \frac{n^{2}}{n+1} + \frac{n+1}{n+2} = \frac{n^{2}(n+2)+(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)} = <br /> \frac{n^{3}+3n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)} < \frac{n^{3}+3n^{2}+3n+1}{(n+1)(n+2)} = <br /> \frac{(n+1)^{2}}{(n+2)} \end{eqnarray*}$

Gestern kam ich nur bis zum dritten Gleichheitszeichen. Ich danke dir outSchool.

12.02.2010, 12:02

tmo

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Gehen die Induktionsaufgaben aus oder warum soll man hier einen Einzeiler in eine Induktion verpacken? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{i}{i+1} < \sum_{i=1}^n \frac{n}{n+1} = \frac{n^2}{n+1} \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 16:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von student10
Ich danke dir outSchool.

Das brauchst du nicht zu tun, denn das nächste mal wirst du wahrscheinlich wieder nicht selber auf die (einfache) Lösung kommen. Wieso nicht? Weil du diesmal auch nicht selber drauf gekommen bist. Ziel des Matheboards ist es, dich mit Tipps genau an den Punkt zu bringen, an dem du die Aufgabe selber löst. Damit lernt man am meisten. Erstens bleibt es am ehesten hängen, weil man es selber gemacht hat, und zweitens gibt es einem Selbstvertrauen.

Aber kein Problem... Danke outSchool ruhig dafür, dass er dir all dies vorenthalten hat. Ach ja, und natürlich auch dafür, dass er sich nach dem Verfassen seines Beitrags gut gefühlt hat. Augenzwinkern

12.02.2010, 16:54

student10

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Einerseits hast du ja recht. Aber er hat mir ja nicht alles gesagt. Der Tipp war es der mir geholfen hat.
Beim naechsten mal sollte ich meinen Ansatz posten. War halt mein Fehler, bin erst seit zwei Tagen hier im Forum, sorry!!! Freude

Jedenfalls hab nicht gesehen, dass ich 'n' addieren muss.

Gruss

12.02.2010, 17:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von student10
Einerseits hast du ja recht. Aber er hat mir ja nicht alles gesagt.

Oh, ja, richtig. Er hat vergessen, dir zu sagen, dass du alles auf einen Nenner bringen musst.

Vielleicht hier mal etwas, was dir mehr hilft: Wenn du etwas beweisen sollst, dann ist es immer wichtig, irgendwie anzufangen (beim Induktionsbeweis ist ja sogar meistens klar, wie man im Induktionsschritt beginnt), und vor allem nicht zu vergessen, wo man hin will. Hier wäre es also einfach nur gewesen, den Term, den man bisher erhalten hat, mit dem Zielterm zu vergleichen.

Ich verändere also mal eine Floskel: "Das Ziel bestimmt den Weg." Augenzwinkern

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