Mittelwertsatz

12.02.2010, 10:36

- Michael -

Mittelwertsatz

Sorry, noch eine Aufgabe, mit der ich nicht zurecht komme:

Geben sie eine nullstellenfreie, differenzierbare Funktion f: [0;1] --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(1)=e \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass es ein c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (0;1) gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f ' (c) = f (c) \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 10:56

pseudo-nym

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Die differenzierbare Funktion wirst du ja wohl finden können.

Was die Aufgabe selbst angeht, ist sie ein wenig seltsam gestellt.

Ich nehme an, dass die untere Aussage für alle f zu zeigen ist und e die eulersche Zahl ist, oder?

12.02.2010, 10:58

Manus

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Ich würde fast wetten, dass es im Aufgabentext heißen soll:

"Gegeben sei..."

12.02.2010, 11:27

- Michael -

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Zitat:

Original von Manus
Ich würde fast wetten, dass es im Aufgabentext heißen soll:

"Gegeben sei..."

Nein, es heißt wirklich "Geben Sie ..."

12.02.2010, 11:40

- Michael -

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Die differenzierbare Funktion wirst du ja wohl finden können.

Was die Aufgabe selbst angeht, ist sie ein wenig seltsam gestellt.

Ich nehme an, dass die untere Aussage für alle f zu zeigen ist und e die eulersche Zahl ist, oder?

Ich könnte mir schon vorstellen, was du denkst:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls $\begin{eqnarray*} f ' (x) = e^{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) = e^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(1) = e^{1} = e \end{eqnarray*}$

Aber in der Lösung steht:

$\begin{eqnarray*} g \cdot f = ln (f) \end{eqnarray*}$ erfüllt:

$\begin{eqnarray*} ln f(0)= ln (1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln f(1)= ln (e) = 1 \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 11:51

tmo

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Zitat:

Original von - Michael -
Aber in der Lösung steht:

$\begin{eqnarray*} g \cdot f = ln (f) \end{eqnarray*}$ erfüllt:

$\begin{eqnarray*} ln f(0)= ln (1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln f(1)= ln (e) = 1 \end{eqnarray*}$

Das soll bedeuten:

Betrachte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = \ln(f(x)) \end{eqnarray*}$ und wende den Mittelwertsatz auf das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ an.

12.02.2010, 14:11

- Michael -

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Ich weis, was das bedeutet, aber wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} g(x) = \ln(f(x)) \end{eqnarray*}$ ? Die Lösung steht mir ja nicht zur Verfügung.

12.02.2010, 16:52

WebFritzi

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Die Funktion f(x) = 1 + (e-1)x tut es genauso. Augenzwinkern

17.02.2010, 19:49

- Michael -

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noch eine kurze Frage:

Die Angabe lautet:
$\begin{eqnarray*} f: \left[0,1\right] -> \mathbb R , f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f (1) = e \end{eqnarray*}$
Gesucht: $\begin{eqnarray*} e \in \left(0,1\right) : `f' (c) = f(c) \end{eqnarray*}$

Teil der Lösung:
wir suchen eine Funktion g, so dass $\begin{eqnarray*} g \cdot f (0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \cdot f (1) = 1 \end{eqnarray*}$

Warum lautet es nicht: $\begin{eqnarray*} g \cdot f (0) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \cdot f (1) = e \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} g \cdot f \end{eqnarray*}$ stellt doch eine Verknüpfung der Funktionen g und f dar und nicht deren Ableitung. Wie genau komme ich auf $\begin{eqnarray*} g \cdot f (0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \cdot f (1) = 1 \end{eqnarray*}$
und auf was bezeiht es sich?

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