Reihenwert, geometr. Reihe

12.02.2010, 16:08

Dalice66

Reihenwert, geometr. Reihe

Moin Leute,

Ich habe folgende Reihenwert zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{(-1)^{k+1}}{2^k} -\frac{4^k}{9^k} \right) \end{eqnarray*}$

Muss ich hier eine Indexverschiebung vornehmen? Wann muss ich das machen? Falls nicht, dann wäre der Reihenwert 1/5

Wink

12.02.2010, 16:18

WebFritzi

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Benutze die Formel, die du hast. Wenn du diese nicht direkt anwenden kannst, wirst du wohl eine Indexverschiebung machen müssen. Ich wundere mich, wieso du das überhaupt fragen musst...

12.02.2010, 16:25

Philipp Imhof

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RE: Reihenwert, geometr. Reihe
Hi

Du kannst die Reihe zerlegen.

Nach Leibniz ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\left(\frac12\right)^k \end{eqnarray*}$ konvergent. Als geometrische Reihe mit q<1 ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\left(\frac49\right)^k \end{eqnarray*}$ konvergent.

Also ist der Reihenwert der zusammengesetzten Reihe die Summe der beiden einzelnen Reihenwerte.

Für den Reihenwert der geometrischen Reihe kennst du die Formel. Für die alternierende Reihe bin ich gerade noch am Überlegen.

12.02.2010, 16:26

WebFritzi

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RE: Reihenwert, geometr. Reihe

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Für die alternierende Reihe bin ich gerade noch am Überlegen.

Sie ist auch geometrischer Art. unglücklich

12.02.2010, 16:31

Dalice66

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Hi Webfritzi,

du weißt, dass ich in Mathe Schwierigkeiten habe, dass Geschriebene umzusetzen. Ok,
Die Formel kenn ich, dass ich 2 einzelne Reihen daraus machen kann, ist auch bekannt. Ok, da hier k=1 ist und die Formel aber k=0 haben will, muss ich eine Indexverschiebung machen. Wenn ich eine Verschiebung nach 0 mache, muss ich k=0 einsetzen und diesen Wert auf der rechten Seite dazuaddieren, stimmts?

@Phillip:

Du kannst doch die (-1) aus der Potenz rausziehen, somit hast du 1 hoch k, dann ist da nix alternierend

12.02.2010, 16:32

Philipp Imhof

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RE: Reihenwert, geometr. Reihe
@Webfritzi: Genau. Aber mir ist zuerst die zielführende Umformung nicht aufgefallen.

@Dalice: Ich finde es naheliegender, passende Zweier-Pakete zu machen und damit zur Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac14\right)^k \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Wenn du statt bei k=1 schon bei k=0 beginnst, dann hat die Reihe einen Summanden zu viel, also musst du diesen vom errechneten Reihenwert wieder abziehen.

12.02.2010, 16:56

WebFritzi

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RE: Reihenwert, geometr. Reihe
@Dalice: Die erste Reihe ist und bleibt alternierend.

Zitat:

Original von Philipp Imhof
@Dalice: Ich finde es naheliegender, passende Zweier-Pakete zu machen und damit zur Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac14\right)^k \end{eqnarray*}$ zu kommen.

wie du das machen willst, ist mir schleierhaft...

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Wenn du statt bei k=1 schon bei k=0 beginnst, dann hat die Reihe einen Summanden zu viel, also musst du diesen vom errechneten Reihenwert wieder abziehen.

Oder so, ja.

12.02.2010, 17:00

Philipp Imhof

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RE: Reihenwert, geometr. Reihe

Zitat:

Original von WebFritzi
wie du das machen willst, ist mir schleierhaft...

So

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac12-\frac14}_{\frac14}+\underbrace{\frac18-\frac{1}{16}}_{\frac{1}{16}}+\underbrace{\frac{1}{32}-\frac{1}{64}}_{\frac{1}{64}}\cdots \end{eqnarray*}$

12.02.2010, 17:03

TommyAngelo

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RE: Reihenwert, geometr. Reihe

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

wie du das machen willst, ist mir schleierhaft...

Er meint es wohl so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^k - \frac{1}{4} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^k \end{eqnarray*}$

Ich hab jeweils die positiven und negativen Glieder in eine Reihe zusammengefasst.

12.02.2010, 17:11

WebFritzi

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Wie dem auch sei.... Das ist viel zu komliziert. Man nimmt einfach ein -1 raus aus der Reihe und hat dann seine geometrische Reihe. Dass das q in q^k dabei negativ ist, spielt keine Rolle.

12.02.2010, 17:17

TommyAngelo

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Stimmt.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=- \sum_{k=1}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^k= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$

Und dann die Formel anwenden, klingt nicht schlecht.

12.02.2010, 20:56

Dalice66

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Also,
wenn ich das nun alles richtig verstanden habe, mir kommt es nicht auf Eleganz an, kann man die Reihe in zwei geometrische zerlegen. Bei einer Indexverschiebung, hier nach 0, kommt ein Summand dazu. Das verfälscht das Ergebnis der Reihe, also muss ich diesen Summanden, hier k=0, wieder abziehen. Somit komme ich dann auf folgendes Ergebnis:

-Die -1 mache ich mit der Potenz...+1 glatt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1^k}{2^k} =\left(\frac{1}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} <1\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{1}{2} } =2 \end{eqnarray*}$

Durch den Indexshift ändert sich die Reihe wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1^k}{2^k} =\left(\frac{1}{2} \right)^k -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{2} }-\frac{1}{2} =1\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die zweite geometrische Reihe analog, folgt als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 1\frac{1}{2} -1,3\overline5=0,1\overline4....5 \end{eqnarray*}$

13.02.2010, 16:53

TommyAngelo

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Zitat:

Original von Dalice66
Durch den Indexshift ändert sich die Reihe wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1^k}{2^k} =\left(\frac{1}{2} \right)^k -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{2} }-\frac{1}{2} =1\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Falsch! Du musst $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}\right)^0=1 \end{eqnarray*}$ abziehen. Das ist ja der Summand, den du durch die Indexverschiebung dazugekriegt hast. Und den musst du ja wieder raushauen.

14.02.2010, 13:40

Dalice66

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Hi Tommy,

jupp...Wenn das der einzige Fehler war, dann habe ich den Kram gepeilt. Vielen Dank an alle.

Wink

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