Invariant unter Konjugation

12.02.2010, 18:31	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Invariant unter Konjugation Hallo. Sei G gruppe und $\begin{eqnarray} H\leq G \end{eqnarray}$ . Falls für alle $\begin{eqnarray} g\in G:\, gHg^{-1}=H \end{eqnarray}$ dann nennt man H "invariant unter Kojugation". Stimmt's? Das ist auch gerade die Definition von Normalteiler, oder? Wo liegt da der Unterschied, oder ist das äquivalent? Grüße, Schmouky
12.02.2010, 18:38	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man "invariant unter Kojugation" so definiert, dann ist es äquivalent zur Normalität. Invarianz unter Konjugation kann auch $\begin{eqnarray} \forall h \in H, g\in G:\, ghg^{-1}=h \end{eqnarray}$ heißen. (Meistens ist dann von "elementweiser Invarianz" die Rede.) Das ist alleridings nicht das selbe wie die obere Eigenschaft.
13.02.2010, 01:03	roman2	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "eigentliche" Definition eines Normalteilers ist, das gH = Hg. Damit laesst sich dann zeigen, dass G/H eine Gruppe ist gdw H Normalteiler ist siehe hier Aus gH = Hg folgt jedoch gHg^(-1) = H (Satz 5212H. Die Bezeichnung "invariant unter Konjugation" folgt einfach daraus, das Ad_g(h) := ghg^(-1) die als Konjugation bezeichnet wird. Sprich: Jeder normalteiler ist invariant unter Konjugation. Jede untere Konjugation invariante Untergruppe ist Normalteiler.

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