Funktionsgleichung aufstellen, die EIgenschaften genügt.

12.02.2010, 18:36

Jan19

Funktionsgleichung aufstellen, die EIgenschaften genügt.

Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Man bestimme die Rationale Funktion, deren Zählergrad 3 und deren Nennerbgrad 2 ist.und die folgenden Eigenschaften besitzt:
-An der stelle x=2 NST 2. Ordnung
-an der Stelle x=1 Polstelle 2. Ordnung
-y=x+1 ist die Asymptode

Die ersten beiden sind ja einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Doch wie setze ich die Asymptote um?

12.02.2010, 22:06

corvus

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RE: Funktionsgleichung aufstellen, die EIgenschaften genügt.

Zitat:

Original von Jan19
.. deren Zählergrad 3 und deren Nennerbgrad 2 ist.
und die folgenden Eigenschaften besitzt:
-An der stelle x=2 NST 2. Ordnung
-an der Stelle x=1 Polstelle 2. Ordnung
-y=x+1 ist die Asymptode

wie setze ich die Asymptote um?

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{(x-2)^2*(x-a)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

berechne nun (Polynomdivision) den "ganzteiligen" Anteil
und ermittle dann a durch Vergleich ..
Beispiel: x+(-2-a)=x+1 --> a=?
smile

13.02.2010, 00:23

mYthos

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Dein angesetzter Bruch genügt nicht der geforderten Eigenschaft: Zählergrad = 3.
Die Asymptote ist das ganzrationale Polynom, welches sich aus der Polynomdivision z(x) durch n(x) ausser noch einem allfällig gebrochen rationalen Rest ergibt.

@Corvus: Mit dem vorgeschlagenen Ansatz wird allerdings nie die Asymptote - x - 1 erreicht. Mit (-x + a) könnte dies aber funktionieren.

mY+

13.02.2010, 11:02

Jan19

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Ok vielen Dank. Es gehen doch aber die Ansätze $\begin{eqnarray*} (x\pm a) \end{eqnarray*}$ Einmal kommt halt 3 das andere mal -3 raus. Nur ich habe das jetzt erst aus multipliziert:

$\begin{eqnarray*} (x^3-4x^2+4x+ax^2-4ax+4a)/(x^2-2x+1)=x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x^3-2x^2+1 \end{eqnarray*}$
--------------------------
$\begin{eqnarray*} -2x^2+3x+ax^2-4ax+4a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x^2+ax^2}{x^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2(a-2)}{x^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$

Geht das auch irgendwie, ohne das aus multiplizieren?

13.02.2010, 13:24

corvus

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Zitat:

und die folgenden Eigenschaften besitzt:
-An der stelle x=2 NST 2. Ordnung
-an der Stelle x=1 Polstelle 2. Ordnung
-y=x+1 ist die Asymptode Augenzwinkern

@mYthos :

Zitat:

@Corvus: Mit dem vorgeschlagenen Ansatz wird allerdings
nie die Asymptote - x - 1 erreicht. unglücklich

natürlich nicht, denn gemäss oben zitiertem Aufgabentext soll die Asymptote
ja die Gleichung y=+x+1 haben
denn das "-" oben (vor dem y) gehört wohl zur Auflistung der 3 Eigenschaften
und ist also kein Vorzeichen..
oder? smile

also, lieber mYthos, wenn dem so ist, dann ist dein Bildchen gerade
auch noch falsch (kannst ja noch spiegeln..)

@ Jan19 :

Zitat:

Es gehen doch aber die Ansätze $\begin{eqnarray*} (x\pm a) \end{eqnarray*}$ unglücklich

. Nur ich habe das jetzt erst aus multipliziert:

$\begin{eqnarray*} (x^3-4x^2+4x+ax^2-4ax+4a)/(x^2-2x+1)=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x^3-2x^2+1 \end{eqnarray*}$

also:
1) es ist sinnvoll , nur mit dem Ansatz (x-a) zu arbeiten
(das richtige Vorzeichen für den Wert von a wird sich automatisch ergeben..) smile

2) eh du loslegst mit der Division solltest du den Term links
nach Potenzen von x ordnen..
so:

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2*(x-a) = ( x^3 - (4+a)x^2 + 4(1+a)x -4a ) \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du beginnen, die Division durch (x²-2x+1) auszuführen..

mach mal
und schau, obs stimmt, was oben schon steht:
.."berechne nun (Polynomdivision) den "ganzteiligen" Anteil
und ermittle dann a durch Vergleich ..
Beispiel: x+(-2-a)=x+1 --> a=? "
smile

ok?

13.02.2010, 13:46

Jan19

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Wieso geht der Ansatz (x+a) nicht? Ich habe das doch im Post davor schon ausgerechnet. (x+3) kommt raus. ich wollte nur noch mal wissen, ob es auch ohne aus multiplizieren geht.

13.02.2010, 13:58

corvus

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Zitat:

Original von Jan19
Wieso geht der Ansatz (x+a) nicht? geschockt

du solltest Lesen lernen:
wenn ich dir schreibe: " es ist sinnvoll , nur mit dem Ansatz (x-a) zu arbeiten"
dann heisst das nicht, dass es mit (x+a) nicht "geht"
nur : gleich beide Ansätze mit + - zu machen ist nicht sinnvoll ..

.. wie oben notiert
bekommst du im ersten Fall für a= - 3
.. und im zweiten halt a= +3
was beidemal zum gleichen Linearfaktor (x+3) führt.. Wink

13.02.2010, 14:03

Jan19

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Oh da haben wir wohl aneinander vorbei geredet. Ich wollte mit dem $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ausdrücken, das es egal ist, welchen Ansatz man nimmt und so und so zum gleichen Ergebnis kommen würde ;-).

14.02.2010, 12:19

mYthos

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Lieber @corvus,

selbstverständlich habe ich für die Asymptote

-y = x + 1
-->
y = - x - 1

veranschlagt!
Ich bin nicht dafür verantwortlich, dass der Fragesteller als Aufzählungszeichen ein "-" direkt vor das y schreibt. Mit einem gehörigen Abstand oder besser einem anderen Aufzählungszeichen wäre das anders gewesen. Daher ist, wenn man von dieser Prämisse ausgeht, mein "Bildchen", welches eigentlich ein veritabler Plot ist, natürlich nicht falsch Big Laugh

mY+

Zum Abschluss noch das "richtige Bildchen" Freude

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