Determinante berechnen

13.02.2010, 11:55	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen Hallo, hatte gerade LAI Klausur und wollte wissen ob ich folgende Aufgabe so machen kann Es sei $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in M(5,\mathbb R) \end{eqnarray}$ eine Matrx mit $\begin{eqnarray} det A=2^{-30} \end{eqnarray}$ . Wir betrachten die Matrix $\begin{eqnarray} B=(b_{ij}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_{ij}=2^{i+j}a_{ij} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i,j \in {1,2,3,4,5} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie die Determinante von B. Ich glabe, dass $\begin{eqnarray} B=A^{ad} \end{eqnarray}$ (keine Ahnung warum^^) dann hab ich $\begin{eqnarray} A^{-1}det(A)=A^{ad}=B \end{eqnarray}$ gesagt und dann die Determinante auf beiden Seiten angewandt. $\begin{eqnarray} det(A^{-1})det(det A) = det B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (detA)^{-1}det(det A) = det B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det B = 1 \end{eqnarray*}$ ist das richtig? wenn nein, wie wäre es gegangen? MfG 9mb0
13.02.2010, 13:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante ist multilinear. B kann man sich so vorstellen, dass die Zeilen von A mit 2^0,2^1,...,2^4 multipliziert werden, dann die Spalten dieser Matrix mit 2^2,...,2^6. Also det(B)=2^x*det(A). Das x ist wegen der Linearität von det in jedem Argument (Zeile bzw. Spalte) berechenbar. Ich komme so auf x=30, also det(B)=1 {Deinen Ansatz habe ich noch nicht verstanden.}
13.02.2010, 21:18	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte dazu bitte noch jemand was sagen?! MfG 9mb0
14.02.2010, 12:18	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibt man die Definition der Determinante hin erhält man $\begin{eqnarray} \sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^5 b_{i\sigma(i)} = \sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^5 2^{i + \sigma(i)}a_{i\sigma(i)} \end{eqnarray}$ Man kann nun zeigen das $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^5 2^{i + \sigma(i)} = 2^{30} \end{eqnarray}$ gilt, oder sogar allgemein $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n 2^{i + \sigma(i)} = 2^{n(n+1)} \end{eqnarray}$ für jede Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Daher ergibt sich : $\begin{eqnarray} \sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^5 b_{i\sigma(i)} = \sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^5 2^{i + \sigma(i)}a_{i\sigma(i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^5 2^{i + \sigma(i)}\prod_{i=1}^5a_{i\sigma(i)} = \sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)2^{30}\prod_{i=1}^5a_{i\sigma(i)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2^{30}\sum_{\sigma \in S_5}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^5 a_{i\sigma(i)} = 2^{30}2^{-30} = 1 \end{eqnarray}$ Dein Ansatz ist soweit ich es sehe falsch. Zunächst ist B nicht die adjungkte von A. Danach hast Du den Determinantenmultiplikationssatz verwendet wo Du es nicht darfst : Nehmen wir an es gilt $\begin{eqnarray} A^{-1}\det(A) = B \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \det\left(A^{-1}\det(A)\right) = \det(B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \det(A^{-1})\det(A)^5 = \det(B) \end{eqnarray*}$ Sprich Du hast die Potenz 5 einfach unterschlagen.
14.02.2010, 12:23	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dankeschön, dachte mir scho das es nicht stimmt.

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