Fkt. partiell/total diffbar?

17.10.2006, 17:58

Honzo

Fkt. partiell/total diffbar?

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe mit Musterlösung. Allerdings habe ich das ganz anders gelöst und mich würde interessieren, ob meine Lösung unsauber oder unvollständig ist:

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{\sin(x^2 + y^2)} & \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ für } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Man prüfe die Funktion in (0,0) auf Stetigkeit, partielle und totale Diffbarkeit.

- Stetigkeit habe ich erledigt (keine Frage dazu)
- partielle Diffbarkeit: hier habe ich einfach die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \partial_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial_y \end{eqnarray*}$ gebildet.
- totale Diffbarkeit: die partiellen Ableitungen sind beide stetig, also ist die Funktion auch total diffbar.

Ich denke, die Musterlösung ist wegen dem letzten Punkt einen anderen Weg gegangen (weil die Stetigkeit der part. Ableitungen nicht so ganz einfach ist) - oder gibt es sonst etwas an meiner Lösung auszusetzen?

Danke!

17.10.2006, 18:28

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fkt. partiell/total diffbar?

Zitat:

Original von Honzo
Ich denke, die Musterlösung ist wegen dem letzten Punkt einen anderen Weg gegangen (weil die Stetigkeit der part. Ableitungen nicht so ganz einfach ist) - oder gibt es sonst etwas an meiner Lösung auszusetzen?

Ohne deine Lösung im Detail zu sehen, lässt sich dazu insgesamt schwer etwas sagen. ZB wie hast du das mit den partiellen Ableitungen genau gemacht ?

Wenn deine Beweise stimmen und du alle benutzten Sätze darin auch benutzen darfst, sollte es ok sein.

Grüße Abakus smile

18.10.2006, 17:56

Steffi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
könnte mir einer von euch beiden bitte sagen, wie man die partielle Differenzierbarkeit nachweist - ich stehe irgendwie total auf dem Schlauch. Geht das auch mit dem Differentialquotienten? Und setzt man dann die als konstant betrachtete Variable =0 oder ungleich 0?

Dankeschön smile

18.10.2006, 18:39

Marcyman

Auf diesen Beitrag antworten »

Untersuche zb. für die erste part. Ableitung von f in (0,0)

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$

Man sieht aber auch dass die Funktion auf der x- und auf der y-achse konstant null ist, das reicht schon für die part. Diffbarkeit.

18.10.2006, 21:58

Steffi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, ok

Und die totale Differenzierbarkeit hätte ich mit Deltas gemacht:
Also ich sage, daß...

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = f(0,0) + \Delta_1(x) x + \Delta_2(y)y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Delta_1(x) = \frac{y^3}{\sin(x^2+y^2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta_2(y) = 0 \end{eqnarray*}$

... und zeige die Stetigkeit der Deltas. Die Konstante ist sowieso stetig, und bei $\begin{eqnarray*} \Delta_1 \end{eqnarray*}$ gehts genauso wie bei der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ im ersten Aufgabenteil.

Das wäre doch auch richtig, oder?

19.10.2006, 00:29

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffi1
$\begin{eqnarray*} \Delta_1(x) = \frac{y^3}{\sin(x^2+y^2)} \end{eqnarray*}$

Das ist aber auch von y abhängig oder soll y hier nur eine Konstante sein ?

Grüße Abakus smile

19.10.2006, 08:44

Steffi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das habe ich übersehen. Dann vielleicht eher so:

$\begin{eqnarray*} \Delta_1 = \begin{cases} \frac{y^3}{\sin(x^2+y^2)} & \text{ falls } n \cdot \pi \neq x^2+y^2 \\ 0 & \text{ falls } n \cdot \pi = x^2+y^2 \end{cases} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ fest.

19.10.2006, 13:47

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde das hier nicht gelten (rechts hättest du ein festes y, links nicht):

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = f(0,0) + \Delta_1(x) x \end{eqnarray*}$

Vielleicht zunächst einen Schritt zurück. Kannst du einmal den Satz angeben (mit allen Voraussetzungen), den du hier anwenden möchtest ?

Grüße Abakus smile

19.10.2006, 17:42

Steffi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich möchte die erste Kennzeichnung der totalen Differenzierbarkeit anwenden:

Eine Fkt. $\begin{eqnarray*} f:G \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt in x_0 aus G total diffbar, wenn in x_0 stetige Fkt. $\begin{eqnarray*} \Delta_1,...,\Delta_n: G \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} \forall_{x \in G}: f(x) = f(x_0) + \sum_{k=1}^n \Delta_k(x) \cdot (x_k - x_{0_k}) \end{eqnarray*}$ .

Hier ist ja $\begin{eqnarray*} n=2, x_0 = (0,0), f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Ah, in der Definition ist ja bei $\begin{eqnarray*} \Delta_k(x) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ - d.h. die Deltas hängen von x und y ab? War das mein Fehler?

20.10.2006, 14:27

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das macht Sinn. Du kannst dieses Kriterium hier nehmen (richtige Anwendung mit den Deltas vorausgesetzt).

Über die Stetigkeit der partiellen Ableitungen zu gehen (wie Honzo) ist deutlich aufwändiger, es zeigt allerdings auch stetige Differenzierbarkeit und damit mehr als gefordert. Da die partiellen Ableitungen aber nicht bei jeder Funktion stetig sind (ich habs hier nicht überprüft), geht dieser Weg nicht immer.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

21.10.2006, 14:19

Steffi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
schonmal vielen Dank bisher!

Ich bin gerade am Üben, und habe mir zur Stetigkeit nochmal Gedanken gemacht. Es gibt ja noch das Folgenkriterium. Angenommen, der Definitionsbereich wäre eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} 0 \leq x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ könnte man doch die Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ \left( \frac{1}{2k}, \frac{1}{2l} \right) \right\}_{k,l \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ definieren, die für $\begin{eqnarray*} k,l \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Und damit folgt dann $\begin{eqnarray*} f \left( \frac{1}{2k},\frac{1}{2l} \right) = \frac{\frac{1}{2k} \cdot \frac{1}{2l^3}}{\sin \left( \frac{1}{2k^2} + \frac{1}{2l^2} \right)} \to_{k,l \to \infty} \frac{0}{\text{n. def aber beschränkt}} = 0 = f(0,0) \end{eqnarray*}$ , also stetig.

Würde das so funktionieren oder liege ich mit den Folgenkriterium im Mehrdimensionalen daneben?

21.10.2006, 14:23

Steffi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, beim Sinus habe ich mich vertan ... sin(0) = 0. Dann gäbe es wegen $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ Probleme. Mist. unglücklich

Aber angenommen es würde aufgehen, könnte man es schon so machen, oder?

21.10.2006, 19:03

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Steffi1
... könnte man doch die Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ \left( \frac{1}{2k}, \frac{1}{2l} \right) \right\}_{k,l \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ definieren, die für $\begin{eqnarray*} k,l \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Im Prinzip ja. Statt von einer Folge würde ich hier von einem Netz ("verallg. Folge") sprechen (das ist eine Abbildung von einer geordneten Menge). Das Konzept der Konvergenz wäre hier zunächst exakt zu definieren.

Zitat:

Und damit folgt dann $\begin{eqnarray*} f \left( \frac{1}{2k},\frac{1}{2l} \right) = \frac{\frac{1}{2k} \cdot \frac{1}{2l^3}}{\sin \left( \frac{1}{2k^2} + \frac{1}{2l^2} \right)} \to_{k,l \to \infty} \frac{0}{\text{n. def aber beschränkt}} = 0 = f(0,0) \end{eqnarray*}$ , also stetig.

Wenn du 2k bzw. 2l einsetzt, musst du die 2 mit potenzieren (RF). Den Sinus kannst du via $\begin{eqnarray*} x - \frac{x^3}{3!} \le \sin x \le x \end{eqnarray*}$ für geeignete x abschätzen und so letztendlich zu dem Grenzwert kommen (es muss natürlich aufgehen, sonst ist es mit der Stetigkeit in 0 Essig).

Die Stetigkeit allerdings beweist das so nicht, dafür müsstest du diese Beziehung schon für alle solche Folgen (Netze) und nicht nur für eine (s) zeigen.

Zitat:

Würde das so funktionieren oder liege ich mit den Folgenkriterium im Mehrdimensionalen daneben?

Oben hast du keine Folge in dem Sinne. Ansonsten gilt das Folgenkriterium für Stetigkeit auch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Fkt. partiell/total diffbar?

Verwandte Themen