Linksdrehung

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Linksdrehung
Hallo

Ich habe folgendes Problem:

Gegeben sind drei Punkte im R² :

P0 (xo/yo)
P1 (x1/y1)
P2 (x2/y2)

Wie könnte ich jetzt am besten beweisen, dass einer der Punkte, z.B. P2 links bzw rechts von der Strecke durch P0 und P1 liegt?

Meine bisherigen Ideen gehen Richtung Winkel zwischen P0P1 und P0P2...aber der Umlaufsinn mach mir da Sorgen

Bin für jede Antwort dankbar.

Gruß Björn
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere "links" und "rechts". Erstens hängt das von der Blickrichtung ab und zweitens könnte man den Raum auch so in zwei Halbräume teilen, dass P2 weder "links" noch "rechts" von der Strecke liegt.
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war vorhin etwas in Eile...

Es war so gemeint, dass man quasi von Punkt P0 nach P1 schaut, also der Vektor durch P0 und P1 in P0 anfängt und in P1 endet.

Wenn man nun den Winkel alpha zwischen den Vektoren P0P1 und P0P2 betrachtet, würde ja einiges dafür sprechen, dass für 0<alpha<180 der Punkt P2 links vom Vektor P0P1 liegen würde (für einen positiven Umlaufsinn).

Nun wird aber bei der Winkelbestimmung durch immer der kleinere Winkel erfasst, weshalb man ja dadurch keinen vernünftigen Schluss aus dem resultierenden Winkel bzgl. der Lage von P2 machen kann...

Oder kann man diese Idee irgendwie modifizieren?

Mir ist aber doch noch ein anderer Ansatz für dieses Problem eingefallen.
Man könnte ja P2 auch an der Geraden g durch P0 und P1 spiegeln und dann folgern: [ P2'(x2'/y2') ist Spiegelpunkt von P2 an g ]

für x0<x1 und y0<y1 --> falls x2'>x2 liegt P2 links von g

für x0<x1 und y0=y1 --> falls y2'<y2 liegt P2 links von g

für x0>x1 und y0<y1 --> falls x2'<x2 liegt P2 links von g

für x0>x1 und y0=y1 --> falls y2'>y2 liegt P2 links von g

für x0<x1 und y0>y1 --> falls x2'<x2 liegt P2 links von g

für x0>x1 und y0>y1 --> falls x2'<x2 liegt P2 links von g

für x0=x1 und y0<y1 --> falls x2'>x2 liegt P2 links von g

für x0=x1 und y0>y1 --> falls x2'<x2 liegt P2 links von g

Ich hoffe ich habe damit alle Fälle abgedeckt verwirrt

Gibt es vielleicht noch Alternativen mittels Skalarprodukt oder so?

Gruß Björn
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt da spontan folgendes ein:

Bilde doch die Gleichung der Geraden durch P0 und P1 und nenne sie f(x).
Dann bildest du f(x2) und vergleichst das Ergebnis mit y2. Dann gibt es nur 2 Fälle:

1) x0<x1: P3 liegt links gdw. y2 > f(x2)
2) x0>x1: P3 liegt links gdw. y2 < f(x2)

edit:
Und weniger spontan noch was mit Kreuzprodukt:

bilden ein Rechtssystem. Du brauchst nur die z-Komponente des Kreuzproduktes auszuwerten: Ist sie größer als Null, liegt P2 links, sonst rechts.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, das macht Sinn smile

Und ist natürlich viel effizienter bzw eleganter.
Man muss zwar noch den Fall x0=x1 betrachten und y0 ungleich y1 (Parallele zur y-Achse) aber das krieg ich auch so hin Augenzwinkern

Danke für die Hilfe.

Gruß Björn
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte mir auch Gedanken über eine Lösung mittels Kreuzprodukt gemacht aber hatte es dann wieder verworfen weil es ja nur für dreidimensionale Vektoren definiert ist...

Oder kann ich die z-Komponenten in jedem Vektor einfach null setzen und dann das hier für die dritte Komponente des zu P0P1 und P0P2 senkrecht stehenden Vektors verwenden :

Zitat:
Ist sie größer als Null, liegt P2 links, sonst rechts.


Gruß Björn
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die z-Komponente nimmst du einfach mit Null an. Aber die z-Komponente des Kreuzproduktes errechnet sich ja eh nach a1 b2 - a2 b1, d.h., die z-Komponenten der Ausgangsvektoren sind für deine Rechnung unerheblich.

Gruß
Christian

edit: Tippfehler korrigiert
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, so hatte ichs mir auch gedacht.

Kannst du mir vielleicht noch die Idee, die hinter dieser Lösung steckt etwas näher erläutern?
Was heisst Rechtssystem genau und wodurch entsteht hier der Zusammenhang zur Lage des Punktes P2 ?
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Rechtsystem heißt: Halte den Daumen deiner rechten (!) Hand in Richtung des ersten Vektors, den Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, dann zeigt dein Mittelfinger automatisch in Richtung des Kreuzproduktes. Alternativ kannst du den ersten Vektor auch so drehen, dass er mit dem zweiten Vektor in Deckung kommt. Das Skalarprodukt zeigt dann in die Richtung, in die sich ein Korkenzieher bei gleicher Drehrichtung schrauben würde. Deshalb sagt man statt "Rechtssystem" auch manchmal "Rechtsschraube".

Ich dachte hier so: Liegt P2 links, muss ich P0P1 nach "links" (Gegenuhrzeigersinn, mathematisch positiv) drehen, um auf P0P2 zu kommen. Das gilt unabhängig davon, ob x0 < x1. In diesem Fall zeigt das Kreuzprodukt "nach oben" (aus der Zeichenebene heraus), hat also eine positive z-Komponente.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wunderbar...die gute Dreifingerregel...hatte sie schon fast verdrängt ^^

Danke, das ist einleuchtend. smile

Ich denke damit komm ich klar.

Stimmst du mir denn auch zu, dass das mit der Winkelbetrachtung nichts bringt?

Gruß Björn
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schien zwar anfänglich ne gute Idee, aber das mit Skalarprodukt bringt leider nur den Betrag des Winkels, nicht seine Orientierung.

Ach, und in meinem letzten Posting muss es natürlich "Kreuzprodukt" statt Skalarprodukt heißen. Augenzwinkern

Gute Nacht. Wink
Christian
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke für deine Mühe Freude

Gehe jetzt auch pennen.

Gute Nacht Wink
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