Ist die Summe einer konvergenten Reihe und einer divergenten Reihe auch divergent?

13.02.2010, 21:21

DonCanalle

Ist die Summe einer konvergenten Reihe und einer divergenten Reihe auch divergent?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{k} -konvergent.<br /> \sum\limits_{k=1}^n b_{k} -divergent.<br /> <br /> Gilt:\sum\limits_{k=1}^n a_{k} + b_{k} - divergent? \end{eqnarray*}$

Ich denke da an das Cauchykriterium für Reihen (Konvergenz von Reihen). Intuitiv würde ich sagen, dass die neue Reihe dann divergiert. Wie beweist man das?

Danke für die Hilfe!

13.02.2010, 21:45

wisili

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RE: Ist die Summe einer konvergenten Reihe und einer divergenten Reihe auch divergent?
ja, divergent, denn sonst wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (a_{k} + b_{k}) - \sum\limits_{k=1}^n a_{k} = \sum\limits_{k=1}^n b_{k} \end{eqnarray*}$ , konvergent - konvergent = konvergent, entgegen der Voraussetzung.

13.02.2010, 21:59

WebFritzi

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RE: Ist die Summe einer konvergenten Reihe und einer divergenten Reihe auch divergent?

Zitat:

Original von DonCanalle
Ich denke da an das Cauchykriterium für Reihen.

Wie wisili schon schreibt, reicht da die Definition von Konvergenz einer Reihe über die Partialsummen.

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Ist die Summe einer konvergenten Reihe und einer divergenten Reihe auch divergent?

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