lösen von uneigentlichen integralen

13.02.2010, 23:06

DOZ ZOLE

lösen von uneigentlichen integralen

Hallo,
ich hab gerade die folgenden uneigentlichen integrale zu lösen aber bin mir nicht so sicher ob das richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! x^{-2} \, dx =\int_{-1}^{0} \! x^{-2} \, dx+\int_{0}^{1} \! x^{-2} \, dx=\lim_{a \nearrow 0}\int_{-1}^{a} \! x^{-2} \, dx +\lim_{b \searrow 0}\int_{b}^{1} \! x^{-2} \, dx=\lim_{a \nearrow 0}\left(-\frac{1}{a}-1 \right) +\lim_{b \searrow 0}\left(-1+\frac{1}{b} \right)=-\infty+\infty-2=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{1}{1+x^{-2}} \, dx =\int_1^\infty \! \frac{x^2}{x^2+1} \, dx=\int_1^\infty \! 1-\frac{1}{x^2+1} \, dx=\lim_{a \nearrow \infty} \int_1^a \! 1-\frac{1}{x^2+1} \, dx=\lim_{a \nearrow \infty}\left(a-1\right)-\frac{1}{2}\lim_{b \nearrow \infty}\ln\left(b+i\right) -\frac{1}{2}\lim_{c \nearrow \infty}\ln\left(c-i\right)=\infty-\frac{1}={2}\infty- \frac{1}{2}\infty=\infty \end{eqnarray*}$

ich hoffe jemand kann mir meine fehler aufzeigen wenn ich welche gemacht haben sollte.

MfG
DOZ ZOLE

14.02.2010, 00:04

corvus

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RE: lösen von uneigentlichen integralen
^

Zitat:

wenn ich welche gemacht haben sollte. Wink

....................Tipp:

schlag mal die Stammfunktion nach zu : $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ smile

14.02.2010, 00:15

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
$\begin{eqnarray*} -\infty+\infty-2=\infty \end{eqnarray*}$

Eigenartige Rechnungen mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , die du da anstellst - besser gesagt: falsch.

Die Summe der beiden Integrale ist undefiniert - wie immer bei der Summe zweier bestimmt divergenten Ausdrücke unterschiedlichen Vorzeichens.

14.02.2010, 10:52

DOZ ZOLE

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ah ok dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{1}{1+x^{-2}} \, dx =\lim_{a \nearrow \infty}\left(a-1\right)-\lim_{a \nearrow \infty}\left(\arctan(a)-\arctan(1)\right)=\infty -1-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\infty \end{eqnarray*}$

und das erste integral existiert denn nicht?

14.02.2010, 11:18

Huggy

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
und das erste integral existiert denn nicht?

Richtig.
Das ist leichter zu sehen, wenn du noch einen Vorzeichenfehler korrigierst. Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \nearrow 0}\left(-\frac{1}{a}-1 \right)=\infty \end{eqnarray*}$

weil ja a negativ ist. Dann steht da $\begin{eqnarray*} \infty + \infty \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} -\infty + \infty \end{eqnarray*}$

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