Polynom / Störpolynom Nullstellenaufgabe

14.02.2010, 00:01

einweitererTest

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Polynom / Störpolynom Nullstellenaufgabe

Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Es sei P ein reelles Polynom mit der einfachen Nullstelle A0 € IR , und g ein reelles Störpolynom für P, d.h. für kleines B € IR betrachten wir das gestörte Polynom

PB(x) := P(x) + B*g(x)

a.) Zeigen Sie, dass es eine (Intervall-)Umgebung U von Null und eine stetig diff'bare Funktion L : U - > R gibt

mit 1) - L(0) = Lo
2) - L(B) ist Nullstelle von PB für alle B € U, also P( L(B) ) + B* g( L(B) ) = 0 für alle B € U

3) - L(B) ist einfache Nullstelle von PB für alle B € U

______________________________

Ich habe mir einwenig gedanken über die Aufgabe gemacht. Wenn ich diese richtig verstanden habe, muss ich aus den im text stehenden Eigenschaften , die eigenschaften 1- 3 herleiten:

Zu 1.)

Da die Umgebung U (0) um die Null gelegt ist, liegt L (0) = Lo aufjeden fall drin da Lo eine reelle Zahl ist.

Zu 2.) Hier bin ich mir absolut nicht sicher:
ich versuche für die stetig diff'bare funktion L von der bekannten stelle 0 , (L(0) = Lo) eine Extrapolation mit Satz von Taylor also(da diff'bar + stetig kann man den anwenden): =>

L(B) = Lo + B* L'(0) . Dieser Wert wird von L angenommen innerhalb der Umgebung. Nun muss ich aber irgentwie zeigen das wenn ich das einsetze das für PB ( L(B) ) = 0 ergibt.

Hier wende ich wieder Satz von Taylor an. Der liefert mit einen Term von dem ich nicht weiß ob der Null ist.....

Ich würde mich wirklich freuen wenn sich dies ein fortgeschrittener Mathematiker anschauen würde.

Grüße

einweitererTest

14.02.2010, 00:07

WebFritzi

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Was ist Lo?

14.02.2010, 00:12

einweitererTest

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Lo ist eine Konstante aus den Reellen Zahlen

14.02.2010, 00:15

WebFritzi

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Ich denke, Lo ist vorgegeben, oder? Warum schreibst du das nicht? Und ist der Bindestrich nach 1), 2) und 3) jeweils ein Minus?

14.02.2010, 00:18

einweitererTest

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Ja das Lo ist vorgegeben . und für die Bindestriche muss ich mich entschuldigen . Bitte nicht als minus interpretieren, am besten einfach wegdenken.

14.02.2010, 19:02

einweitererTest

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RE: Polynom / Störpolynom Nullstellenaufgabe
weiß da denn keiner weiter?

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15.02.2010, 18:36

einweitererTest

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oder ist noch etwas zu undeutlich beschrieben. Es wäre wirklich wichtig....

gruß

einweitererTest

16.02.2010, 23:02

einweitererTest

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und damits nicht in vergessenheit gerät . nochmals "aktualisiert"

ich brauche wirklich eine Antwort darauf....

17.02.2010, 00:59

WebFritzi

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Verwende bitte den Formeleditor.

18.02.2010, 12:31

einweitererTest

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RE: Polynom / Störpolynom Nullstellenaufgabe
Latex-Version:

Es sei $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ ein reelles Polynom mit der einfachen Nullstelle $\begin{eqnarray*} A_{0} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein reelles Störpolynom für $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , d.h. für kleines $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten wir das gestörte Polynom

$\begin{eqnarray*} PB(x) := P(x) + B*g(x) \end{eqnarray*}$

a.) Zeigen Sie, dass es eine (Intervall-)Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von Null und eine stetig diff'bare Funktion $\begin{eqnarray*} L : U -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit

1) $\begin{eqnarray*} L(0) = L_{0} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} L(B) \end{eqnarray*}$ ist Nullstelle von $\begin{eqnarray*} PB \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} P( L(B) ) + B* g( L(B) ) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in U<br /> \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} L(B) \end{eqnarray*}$ ist einfache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} PB \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in U \end{eqnarray*}$

______________________________

Wenn ich diese Aufgabe richtig verstanden habe, muss ich aus den im text stehenden Eigenschaften , die eigenschaften 1- 3 herleiten:

Zu 1.)

Da die Umgebung $\begin{eqnarray*} U (0) \end{eqnarray*}$ um die Null gelegt ist, liegt $\begin{eqnarray*} L (0) = L_{0} \end{eqnarray*}$ aufjeden fall drin, da $\begin{eqnarray*} L_{0} \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl ist. (Lasse die Laenge der Intervallumgebung gegen 0 gehen)

Zu 2.) Hier bin ich mir absolut nicht sicher:
ich versuche für die stetig diff'bare funktion $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ von der bekannten stelle $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (L(0) = L_{0} ) \end{eqnarray*}$ eine Extrapolation mit dem Satz von Taylor (da L diff'bar + stetig kann man den anwenden):
$\begin{eqnarray*} => L(B) = L_{0} + B* L'(0) . \end{eqnarray*}$

Dieser Wert wird von L angenommen innerhalb der Umgebung. Nun muss ich aber irgentwie zeigen das wenn ich das einsetze das für $\begin{eqnarray*} PB ( L(B) ) = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Hier wende ich wieder Satz von Taylor an. Der liefert mit einen Term von dem ich nicht weiß ob der Null ist.....

Soweit so gut. Ich hoffe das es diesmal besser lesbar ist

18.02.2010, 13:47

WebFritzi

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Da von $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ vorher nicht die Rede war, ist (1) überflüssig.

18.02.2010, 14:11

einweitererTest

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aber das $\begin{eqnarray*} L_{0} = Lo \end{eqnarray*}$ das war doch das von vorher . Muss ich nicht zeigen das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ den Punkt annimmt auf der Intervallumgebung?

Liege iich überhaupt damit richtig dass ich aus den Im text stehenden Eigenschaften die drei anderen eigenschaften beweisen soll?? also 1.) - 3.)

Wenn 1.) überflüssig ist , dann bricht auch meine argumentation zusammen, da ich von diesem Punkt aus extrapolieren möchte um nach $\begin{eqnarray*} L(B) \end{eqnarray*}$ zu kommen.

18.02.2010, 18:02

WebFritzi

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RE: Polynom / Störpolynom Nullstellenaufgabe
Ist dir nicht klar, dass (1) keinen Sinn macht?

19.02.2010, 01:26

einweitererTest

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ok dann verstehe ich nicht so ganz warum es keine sinn machen soll...

gruß

ewT

19.02.2010, 01:28

einweitererTest

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sry für doppelpost.

interessanter ist sowieso die 2.) Wie kann man da argumentieren...

19.02.2010, 06:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von einweitererTest
ok dann verstehe ich nicht so ganz warum es keine sinn machen soll...

Dann schau dir nochmal ganz genau an, was du da oben geschrieben hast. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das wirklich die Originalaufgabe ist.

19.02.2010, 13:23

einweitererTest

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Hi,

also die aufgabe steht in Numerische Mathematik - hans rudolf schwarz , norbert köckler (6 . Auflage)

Also ich erkenn den Unsinn leider nicht. Kann ich vielleicht einen Tip haben?

19.02.2010, 13:38

WebFritzi

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Bevor $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ im Text auftaucht, wird nicht erklärt, was $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ sein soll. Man kann doch nicht von etwas reden, das überhaupt nicht definiert ist.

19.02.2010, 16:37

einweitererTest

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oh man bin ich doof

ja klar ich hab aus versehen oben im text anstatt $\begin{eqnarray*} L_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_{0} \end{eqnarray*}$ geschrieben . Dieses $\begin{eqnarray*} L_{0} \end{eqnarray*}$ soll aus den Rellen Zahlen sein und es soll eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ sein

19.02.2010, 17:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von einweitererTest
oh man bin ich doof

In diesem Falle eindeutig, ja. unglücklich

unglücklich

Mit meinen Einstellungen sind wir deswegen schon auf der zweiten Seite dieses Threads; und zwar nur, weil du erst jetzt darauf gekommen bist, doch mal ein paar Selbstzweifel aufkommen zu lassen und deine eigenen Beiträge nochmal durchzulesen.

Aber (leider) bist du damit nicht der einzige hier im Forum...

19.02.2010, 17:12

WebFritzi

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Betrachte die Funktion

R(x,y) = P(x) + yg(x)

und den Punkt

$\begin{eqnarray*} (L_0,0), \end{eqnarray*}$

und wende darauf den Satz über implizite Funktionen an.

20.02.2010, 20:46

WebFritzi

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Nachdem man hier so viel Geduld mit dir hatte, finde ich, sollte es selbstverständlich sein, dass du dich wenigstens nochmal meldest.

22.02.2010, 14:14

WebFritzi

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Falls du das hier jemals noch liest:

Dein Verhalten ist wirklich unter aller Sau!

01.03.2010, 14:26

einweitererTest

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hey sry . ich war letzte woche mir was anderem beschäftigt (war die ganze woche nicht am pc).

01.03.2010, 14:30

einweitererTest

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ist das der Satz über die lokale auflösbarkeit einer impliziten funktion??

01.03.2010, 16:11

einweitererTest

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Aus der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} <br /> x , y \in \mathbb R <br /> <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R: \mathbb R \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \mathbb R -> \mathbb R , (x,y) -> R (x,y) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} R(x,y):= P(x) + y*g(x) \end{eqnarray*}$ aus Polynomen besteht, ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ stetig diff'bar, da $\begin{eqnarray*} P(L_{0} ) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow R(L_{0} , 0) = P(L_{0} ) + 0* g( L_{0} ) = 0 \end{eqnarray*}$

Bilde Jacobimatrix nach y : $\begin{eqnarray*} J (R(x,y)) = g(x) \end{eqnarray*}$ , J ist in $\begin{eqnarray*} ( L_{0} , 0 ) \end{eqnarray*}$ invertierbar, da g ein Polynom ist. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(0) = g^{-1} (0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow R(x,y) = 0 \forall x \in U \end{eqnarray*}$ Dieser schritt ergibt keinen sinn...

Wenn du mir nicht mehr anworten willst, ist das deine Sache. Da ich das jedoch so nicht stehen lassen will, habe ich mal versucht den Satz anzuwenden.

01.03.2010, 16:50

WebFritzi

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Bis zur Berechnung der Jacobimatrix (inklusive) ist in deinem Beitrag alle sin Ordnung. Danach kommt nur noch Unfug.

Zitat:

Original von einweitererTest
Bilde Jacobimatrix nach y

Wozu das? Meinst du nicht, dass du irgendwo die Information verwerten solltest, dass P eine einfache Nullstelle in $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ hat? Leite lieber nach x ab.

Da sind übrigens schon wieder Inkonsistenzen in deinem Beitrag. Was soll denn bitteschön L(0) sein? Eine Funktion L haben wir hier gar nicht. Achte doch einfach mal mehr auf das, was du schreibst.

01.03.2010, 20:04

einweitererTest

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Also die Jacobimatrix abgeleitet nach x:

$\begin{eqnarray*} J(R(x,y)) = P'(x) + y*g'(x) \end{eqnarray*}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray*} (L_{0} ,0 ) \end{eqnarray*}$ invertierbar da $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ ein polynom ist. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} J (R(L_{0} ,0)) = P'(L_{0}) \end{eqnarray*}$ ,

Im Satz steht weiter es gibt deswegen für $\begin{eqnarray*} L_{0} \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{0} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ und es gibt eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung (und ich vermute ganz stark das damit die in der Aufgabe genannte funktion $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gemeint sein soll)

Definiere deshalb Abbildung $\begin{eqnarray*} L: U_{0} -> U_{1} \end{eqnarray*}$ ,

das würde aber bedeuten : $\begin{eqnarray*} L ( L_{0} ) = 0 \end{eqnarray*}$ , das ergibt aber keinen sinn und dann weiß ich auch nicht wozu ich $\begin{eqnarray*} J (R(L_{0} ,0)) = P'(L_{0}) \end{eqnarray*}$ brauche. Vielleicht kann man $\begin{eqnarray*} L ( L_{0} ) = 0 \end{eqnarray*}$ umformen als Umkehrfunktion, da in dem Satz was von invertiertheit stand . Das galt aber nur für die Jacobimatrix. Deswegen weiß ich nicht wie ich hier weitermachen soll.

01.03.2010, 22:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von einweitererTest
$\begin{eqnarray*} J(R(x,y)) = P'(x) + y*g'(x) \end{eqnarray*}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray*} (L_{0} ,0 ) \end{eqnarray*}$ invertierbar da $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ ein polynom ist.

So ein Schwachsinn! unglücklich

unglücklich

Kannst du das näher erläutern?

Zitat:

Original von einweitererTest
Definiere deshalb Abbildung $\begin{eqnarray*} L: U_{0} -> U_{1} \end{eqnarray*}$ ,

Wenn man eine Abbildung definiert, sollte man auch sagen, wie man sie definiert. Man kann doch nicht schreiben:

Wir definieren $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R. \end{eqnarray*}$

Das macht keinen Sinn. Da gehört noch eine Abbildungsvorschrift dazu.

02.03.2010, 19:37

einweitererTest

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$\begin{eqnarray*} J(R(x,y)) = P'(x) + y*g'(x) \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} J(R(L_{0} ,0)) = P'(L_{0} ) + 0*g'(L_{0} ) = P'(L_{0} ) \end{eqnarray*}$

Im Punkt $\begin{eqnarray*} (L_{0} , 0 ) \end{eqnarray*}$ ist die Matrix $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ invertierbar, da $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ nur durch $\begin{eqnarray*} P'(L_{0} ) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (L_{0} ,0) \end{eqnarray*}$ beschrieben wird. Da $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ aber ein polynom ist ( und Polynom sind invertierbar) ist $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (L_{0} , 0 ) \end{eqnarray*}$ invertierbar.

Zu dem $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ : Ich weiß ja nicht wie $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ aussieht. kann ich da nicht einfach ein

Abbilduingsvorschrift ala $\begin{eqnarray*} x -> L(x ) = y \end{eqnarray*}$ festlegen?

und liege ich wenigstens richtig das damit auch das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ in der aufgabe gemeint ist?

02.03.2010, 19:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von einweitererTest
und Polynom sind invertierbar

Jetzt geb ich's echt auf. Ich sag dir noch, dass das Schwachsinn ist, und du wiederholst es auch noch. Ich habe das Gefühl, du hast keinen blassen Schimmer von dem Kram, den du den ganzen Thread lang schon faselst.

Such dir nen anderen doofen. böse

böse

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