Kurvendiskussion einer unechtgebrochenrationaken Fkt.

14.02.2010, 01:17

Thet619

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Kurvendiskussion einer unechtgebrochenrationaken Fkt.

Zum späten Abend noch eine weitere Frage. Bei folgender Funktion soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1+x^3}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Bei mir scheitert es schon am Herausfinden der Nullstellen. Hat es Nullstellen in der komplexen Zahlenebene? Weil wir sollen die Funktion auch einzeichnen, und das ist ja dann schlecht möglich.

Wie man die ganzen Ableitungen bildet ist mir klar, mir wäre schonmal sehr geholfen, wenn mir jemand die Nullstellen nennen könnte, bzw. einen Tipp geben könnte, wie man darauf kommt.

Danke im vorraus,
Thet619

14.02.2010, 02:09

Vinyl

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Abend Thet619,
wie du sicherlich weist ist dort eine Nullstelle, wo der Zähler =0 ist! Es gibt eine Lösung aus den komplexen Zahlen, da es sich ja nicht um ein x zweiten Grades im Zähler handelt!
Soviel gibt es bei dieser Kurve aber garnicht zu "diskutieren" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau dir dann vielleicht noch an was bei x=0 ist.

Grüße Vinyl

14.02.2010, 11:29

Mulder

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RE: Kurvendiskussion einer unechtgebrochenrationaken Fkt.
Edit: Ach schau an, ich habe aus dem Zähler ein $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ gemacht. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil. geschockt

geschockt

Sorry...

Habe den Plot der Übersicht halber mal rausgeschmissen.

Dann kann's natürlich auch keine Nullstelle geben (Definitionsbereich).

14.02.2010, 11:53

Vinyl

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Aber wenn dann einen richtigen Plot. Wink

Wink

Zitat:

Das sehe ich aber anders!

smile

smile

Somit muss ich wohl auch meine Aussage zurück nehmen, dass es eine Nullstelle gibt.
War gestern Nacht wohl doch nen Fehler dabei. Hatte da was übersehen.

Grüße Vinyl

14.02.2010, 13:35

Corny

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Zusätzlich möchte ich noch anhängen, dass der Graph bei x=-1 nicht definiert ist, weil es bei dem Bild nicht herauskommt, da es eine stetig behebbare Definitionslücke ist und der Computer dann einfach durchzeichnet.

14.02.2010, 13:42

mYthos

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Der Computer kürzt nämlich durch (x+1) und zeichnet in Wirklichkeit die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1 - x + x^2}{1 - x} \end{eqnarray*}$

mY+

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14.02.2010, 13:50

Vinyl

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Ah ok, danke für die Info. Freude

Freude

Habe mich schon etwas gewundert ehrlich gesagt.
Stimmt denn nun das Schaubild so wie ich es gepostet habe, bis auf die unstimmigkeit bei x=-1 ?

14.02.2010, 13:56

Corny

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Des stimmt Freude

Freude

14.02.2010, 14:06

Thet619

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Für den Zähler kriege ich ja 3 Nullstellen raus. Einmal -1 und zwei komplexe Zahlen. Das -1 keine Nullstelle ist, ok - Da der Nenner dort auch Null ist.

Wir verfahre ich aber wenn ich als Nullstellen komplexe Zahlen habe. Sind die einfach zu ignorieren? Weil ein Ergebnis ist es ja auch.

/ach ja. und bei x=1 habe ich eine polstelle, oder?

14.02.2010, 14:18

Corny

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$\begin{eqnarray*} 1+x^{3} =0 \Rightarrow x=(-1)^{\frac{1}{3} } =-1 \end{eqnarray*}$

Das wäre deine einzigste Nullstelle. Da sie aber nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keine Nullstellen.

Ja stimmt, bei x=1 hat man eine Polstelle

14.02.2010, 14:39

Thet619

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Und eine Zerlegung in die Linerafaktoren bringt mich auch nicht weiter oder?

Dann hätte ich
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$
und wäre am Ende genau so weit wie vorher.

Weil kann ich ableiten wenn ich eine Definitionslücke habe, bzw. eine nicht stetige Fkt.?

14.02.2010, 14:54

Corny

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Versteh nicht ganz wie du darauf kommst. Weil wenn du deine obig Funktion zerlegst, hättest du:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^3+1}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Was willst du jetzt eigentlich berechnen? Versteh nicht genau was du jetzt machen willst.

14.02.2010, 15:04

Thet619

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Ich habe ja bei x=-1 eine behebbare Definitionslücke. Wie kann ich die beheben? (Dachte die behebt man, wenn man in Linearfaktoren zerlegt, und dann die jeweiligen Definitionslücken herauskürzt)

Und kann ich eine Funktion die Definitionslücken hat ableiten? Eigentlich doch nicht?

14.02.2010, 15:10

mYthos

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Die Zerlegung des Zählers hast du nicht richtig. Denn es ist

$\begin{eqnarray*} 1 + x^3 = (1+ x)(1 -x + x^2) \end{eqnarray*}$

Aus welchem bekannten Gesetz folgt dies?

mY+

14.02.2010, 15:17

Corny

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Achso, jetzt hab ich verstanden was du vorhast, hab erst gedacht du willst nur den Nenner zerlegen.
Man behebt Definitionslücken indem man sie herauskürzt, das stimmt schon.
Aber wie mYthos gezeigt hat, ist dir da ein kleiner Fehler unterlaufen.
Klar kannst du die Funktion dann ableiten. Die Ableitungsfunktion ist dann eben an der Stelle x=-1 nicht definiert.

14.02.2010, 15:53

Thet619

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Zitat:

Original von mYthos
Die Zerlegung des Zählers hast du nicht richtig. Denn es ist

$\begin{eqnarray*} 1 + x^3 = (1+ x)(1 -x + x^2) \end{eqnarray*}$

Aus welchem bekannten Gesetz folgt dies?

mY+

Hm... Über welches das Gesetz das geht... Keine Ahnung. Aber es ergibt Sinn für mich. Wenn man den x² Term auflöst kommt man auf die "imaginären" Nullstellen (die komplexen Nullstellen), da die Diskriminante negativ wird. Aber wie man drauf kommt.... Keine Ahnung. Wäre nett wenn du es mir erklären könntest.

Wenn ich dann die Ableitungen bilde.... Bilde ich die von der Ursprungsfunktion, oder von der Funktion, die die "behobene" Definitionslücke enthält?

14.02.2010, 16:20

Corny

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Da du weißt, dass x=-1 eine stetig behebbare Definitionslücke ist, kannst du denn Zähler mit Hilfe der Polynomdivision umschreiben.
$\begin{eqnarray*} (1 + x^3) /(1+ x)=(1 -x + x^2) \end{eqnarray*}$ Daraus ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} 1 + x^3 = (1+ x)(1 -x + x^2) \end{eqnarray*}$ anschließen kürzt du (x+1) und du erhälst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1 - x + x^2}{1 - x} \end{eqnarray*}$

14.02.2010, 17:29

Thet619

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Danke. Und für die weitere Kurvendiskussion benutze ich welche Funktion? Die mit der Definitionslücke, oder die mit der behobenen Definitionslücke?

14.02.2010, 17:41

mYthos

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Der Einfachheit halber wird natürlich mit der vereinfachten Funktion fortgesetzt, WENN der Definitionsbereich und die Definitionslücke bereits abgehandelt wurden.

mY+

14.02.2010, 17:42

Corny

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Du kannst mit beiden weiterrechnen.
Denn schaust du dir das Bild, welches Vinyl gepostet hat an, ist dies der Graph dieser Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1 - x + x^2}{1 - x} \end{eqnarray*}$ . Der Graph von $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1+x^3}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ schaut genauso aus, bis das er bei x=-1 eine Definitionslücke hat. Da beide Graphen den glecichen Verlauf haben, haben sie auch überall die gleiche Steigung. Deshalb ist es dir überlassen, mit welcher du weiterrechnest.
Oftmals ist es mit der gekürzten Funktion leichter.

Du musst auch beachten, dass wenn du die Anfangsfunktion nimmst, sich automatisch auch bei f' eine Definitionslücke bei x=-1 befindet. Bei der Ableitung der gekürzten natürlich auch, doch ist es am Funktionsterm nicht mehr zu erkennen. Nicht, dass du auf die Idee kommst, weil es auf einmal funktionier -1 einzusetzen es auch zu machen. Denn bei -1 ist ja immernoch deine Definitionslücke

14.02.2010, 17:49

mYthos

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Diese Definitionslücke kann er allerdings - durch eine nachträgliche Definition - ausfüllen (behebbare Lücke)!

mY+

14.02.2010, 18:31

Thet619

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Perfekt, ich danke euch smile

smile

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