vollständige induktion

14.02.2010, 21:26

mathleth89

vollständige induktion

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

ich hab kein plan wie ich hier anfangen soll und bitte um hilfe(stellung)
danke schon mal im voraus
gruss

14.02.2010, 21:35

Mulder

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RE: vollständige induktion
Da hat sich mal wieder ein k zuviel eingeschlichen. Das passiert auch ungefähr jedes zweite Mal, wenn jemand das Summenzeichen aus dem Formeleditor holt. Es geht also um:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mathleth89
ich hab kein plan wie ich hier anfangen soll

Naja, im Allgemeinen beginnt man eine vollständige Induktion mit dem Induktionsanfang. Augenzwinkern

Wie könnte das hier denn aussehen?

Edit: Und der Laufindex war auch noch falsch gesetzt!

14.02.2010, 21:37

mathleth89

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vollständige induktion
ich denke mal erst 1 einsetzen

dann hab ich ja 1/2 raus

14.02.2010, 21:39

SteMa

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RE: vollständige induktion
So hat doch die Symbolik keinen Sinn - überprüfe bitte deine Notation.

edit: ...schon korrigiert.

14.02.2010, 21:39

Mulder

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RE: vollständige induktion
Ein wenig wortkarg, hmm? Augenzwinkern

Also, du hast nun n=1 eingesetzt. Stimmt die Formel für n=1 ?

14.02.2010, 21:42

mathleth89

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RE: vollständige induktion
ja warum denn nich^^

mein problem ist jetzt der schritt wenn ich n+1 einsetzen muss, also schreib ich doch über das sigma anstatt n, dann n+1 hin oder?

14.02.2010, 21:44

Mulder

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RE: vollständige induktion
Okay. Wir haben also bewiesen, dass die Formel für n=1 gilt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt also schonmal für ein n. Jetzt ist zu zeigen, dass es auch für n+1 gilt, genau. Betrachte also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \, \frac{1}{i\left(i+1\right) } \end{eqnarray*}$

14.02.2010, 21:49

mathleth89

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RE: vollständige induktion
und hier bin ich mir nich sicher wie das ausehen soll

muss ich dann anstatt den i's (n+1) einsetzen?

14.02.2010, 21:53

mathleth89

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RE: vollständige induktion
hab da sowas raus

14.02.2010, 21:54

Mulder

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von mathleth89
muss ich dann anstatt den i's (n+1) einsetzen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Das haben wir schon gezeigt für ein n. Das Ganze ist nun noch für n+1 zu verifizieren. Also ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n+1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Einfach stur eingesetzt, da ist nichts passiert. Soweit klar? Den Nenner rechts kann man natürlich noch vereinfachen, die überflüssige Klammer steht da jetzt nur zur Verdeutlichung.

Der "Trick" ist jetzt, die Summe auseinander zu ziehen. Betrachte die Summe von 1 bis n+1 als die Summe von 1 bis n (deren Ergebnis du bereits kennst, siehe Induktionsanfang) und dem n+1-ten Summanden. Wie sieht der n+1-te Summand aus?

14.02.2010, 21:57

Mulder

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RE: vollständige induktion
In Antwort auf deinen zweiten Beitrag (den hatte ich nicht mehr gesehen):

Ja, das sieht doch schon mal gut aus. Freude

Jetzt den ganzen Kram rechts auf einen Nenner bringen, vereinfachen und kürzen.

14.02.2010, 22:05

mathleth89

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RE: vollständige induktion
dann zieh ich nur noch die zwei großen brüche auf beiden seiten ab und hab dann die behauptung vom anfang raus?

14.02.2010, 22:11

Mulder

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RE: vollständige induktion
Das wäre ja Blödsinn, dann hättest du ja rein gar nichts gemacht. Nach wie vor ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n+1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Du bist nun hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i\left(i+1\right) } = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Da fehlen doch nun wirklich nur noch ein paar elementare Umformungen!

14.02.2010, 22:18

mathleth89

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RE: vollständige induktion
schade^^

dann müsste es:

[n ((n+1)+1) / (n+1) ((n+1)+1)] + [1 / (n+1) ( (n+1)+1)]

ich hoffe mal das stimmt...wenigstens ein bisschen

14.02.2010, 22:21

Mulder

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von mathleth89
dann müsste es:

[n ((n+1)+1) / (n+1) ((n+1)+1)] + [1 / (n+1) ( (n+1)+1)]

ich hoffe mal das stimmt...wenigstens ein bisschen

Abgesehen davon, dass zusätzliche Leerzeichen keine Klammern ersetzen können (ich kann nicht hellsehen), stimmt das, ja, Nur weiter, du musst dir jetzt auch nicht jeden kleinen Schritt erst bestätigen lassen, auf den gleichen Nenner bringen sollte man im Hochschulbereich verlangen können, denke ich.

Edit: Und das ((n+1)+1) könntest du auch sio langsam mal durch (n+2) ersetzen. Anfangs hatte ich das aus Gründen der Veranschaulichung so geschrieben, aber den umständlichen Kram muss man jetzt nicht bis zum Ende so mitschleppen! Vereinfachen!

14.02.2010, 22:28

mathleth89

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RE: vollständige induktion
ok ich wollte es nur mal schritt für schritt durchgegangen sein müsste jetzt auch klappen und vielen dank nochmal für die hilfe und geduld
gruss

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