Problem Infimum Minimum

15.02.2010, 13:13

Gastine

Problem Infimum Minimum

Hallo Leute,
ich habe ein kleines Problem bei der Berechnung von Infimum und Minimum folgender Menge:

$\begin{eqnarray*} A := \left\{ (-1)^{n} + \frac{1}{n} | n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
für n gerade ergibt sich max A = sup A = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}; \end{eqnarray*}$ Das war recht einfach.

für n ungerade gilt:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} + \frac{1}{n} \leq (-1) + \frac{1}{n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

und weiter gilt für alle n:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} + \frac{1}{n} > (-1)^{n} \geq -1 , \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Somit ist -1 untere Schranke und ich muss nun überprüfen, ob -1 auch Infimum ist: Ich nehme an, es existiert eine Zahl K>-1, die eine größere untere Schranke ist!

$\begin{eqnarray*} K\leq (-1)^{n}+\frac{1}{n}, \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} K\leq -1 +\frac{1}{n} , \forall ungeraden n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} K + 1 \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Daraus:

$\begin{eqnarray*} n \leq \frac{1}{K + 1}, \forall ungeraden n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Äh ja und was sagt mir das jetzt? Ich suche zunächst nach einem K das kleiner gleich dem Ausdruck sein muss und erhalte nun n muss kleiner gleich sein...??? unglücklich

Und dann noch das Minimum:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} + \frac{1}{n} > -1, \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich nun fest ob ein Minimum existiert? Für das kleinstmögliche n (=1) ergibt die Ungleichung 0 > -1

verwirrt

15.02.2010, 14:03

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem Infimum Minimum
$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ist eine untere Schranke.

Angenommen $\begin{eqnarray*} K > - 1 \end{eqnarray*}$ wäre auch eine untere Schranke so gilt $\begin{eqnarray*} K = -1 + x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R ; x > 0 \end{eqnarray*}$ .

Zeige nun, dass es ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} a < -1 + x \end{eqnarray*}$ .

lg

15.02.2010, 15:27

Gastine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem Infimum Minimum
Das hilft mir ehrlich gesagt nicht weiter.
Mittels meiner Umformungen komme ich ja auf den Schluss, dass

$\begin{eqnarray*} n \leq \frac{1}{K+1} \end{eqnarray*}$

für alle ungeraden natürlichen Zahlen..
Nur weiß ich jetzt nicht was ich mit diesem Ausdruck anfangen soll.
n kann ja unendlich groß sein und K müsste dann .. z.B. -0.99999 sein.

Kann ich dann daraus folgern, dass es zu jedem n einen Wert K gibt und meine einzige logische untere Schranke und somit das Inifmum -1 ist? geschockt

15.02.2010, 15:33

Gastine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem Infimum Minimum
Ahh ich habe eine Idee:

Mein sup A / max A habe ich ja nur mittels meiner geraden Zahlen gefunden. D.h. nur meine geraden Zahlen sind nach oben beschränkt.

Demnach wären meine ungeraden Zahlen nach oben unbeschränkt.
Da nun beim Infimum herauskommt, dass n kleiner gleich sein muss (also nach oben beschränkt "wird") ist dies ein Widerspruch.

Ich hoffe ihr versteht was ich meine und ich erzähle gerade keinen totalen Blödsinn! verwirrt

15.02.2010, 15:43

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich hoffe ihr versteht was ich meine und ich erzähle gerade keinen totalen Blödsinn!

Um ehrlich zu sein - du drückst dich nicht besonders verständlich aus ...

Noch ein Tipp sei n ungerade und $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} < x \end{eqnarray*}$ . Das zu diesem n gehörende Element von A ist offensichtlich kleiner als K. Was kannst du daraus folgern ?

Neue Frage »

Antworten »

Problem Infimum Minimum

Verwandte Themen