Integrationsgrenzen vertauschen. plus unendlich zu minus unendlich

15.02.2010, 15:13

luis

Integrationsgrenzen vertauschen. plus unendlich zu minus unendlich

Hallo,
Wenn man mit Fourietransformationen rummacht dann bekommt man manchmal ein Integral von 0 bis unendlich über exp[x].
Wir vertauschen jetzt manchmal die Grenzen...das Integral geht dann von -unendlich bis 0 und exp[x] wird zu exp[-x]. wie geht denn das? Und hab ich das richtig verstanden, dass ich das mache damit ich dann ein e hoch -unendlich habe das null wird. statt einem e hoch +unendlich bei dem ich nicht weiss was es wird?
komisch wäre dann aber, dass wir auch schon mal ein -unendlich bis 0 zu einem 0 bis +unendlich gemacht haben und aus dem therm mit unendlich auch null wurde.
grüße
luis

15.02.2010, 15:27

giles

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RE: Integrationsgrenzen vertauschen. plus unendlich zu minus unendlich

Zitat:

Original von luis
Hallo,
Wenn man mit Fourietransformationen rummacht dann bekommt man manchmal ein Integral von 0 bis unendlich über exp[x].

Habe ich in der Form in dem Kontext nie gesehen. Das Integral existiert erstens nicht und zweitens fehlt da wohl $\begin{eqnarray*} \exp(ikx) \end{eqnarray*}$ oder sowas in der Art. Sonst hat das ja reichlich wenig mit Fouriertransformation zu tun.

Zitat:

Wir vertauschen jetzt manchmal die Grenzen...das Integral geht dann von -unendlich bis 0 und exp[x] wird zu exp[-x]. wie geht denn das?

Sieht nach Substitution aus mit $\begin{eqnarray*} z=-x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{K}\exp(x)dx=-\int_{0}^{-K}\exp(-z)dz=\int_{-K}^{0}\exp(-z)dz \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und hab ich das richtig verstanden, dass ich das mache damit ich dann ein e hoch -unendlich habe das null wird. statt einem e hoch +unendlich bei dem ich nicht weiss was es wird?
komisch wäre dann aber, dass wir auch schon mal ein -unendlich bis 0 zu einem 0 bis +unendlich gemacht haben und aus dem therm mit unendlich auch null wurde.
grüße
luis

Klingt stark nach Humbug. Zeig doch mal konkret welche Umformungen du meinst damit man dir besser helfen kann...

15.02.2010, 16:03

luis

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danke für die schnelle antwort.
also ich weiss nicht was du mit "das integral existiert nicht" meinst. wir haben in der e-funktion einen Betrag den wir dann aufteilen in größer null und kleiner null. so bekommen wir ein integeral von -\infty bis 0 und eins von 0 bis +\infty . das da noch was periodisches mit nem i steht stimmt schon aber hat ja nichts mit dem problem zu tun deswegen hab ichs der einfachheit halber weggelassen.

Zitat:

Sieht nach Substitution aus

ah ja. sieht gut aus. das wird da einfach so gemacht ohne zwischenschritte. da muss man erst mal drauf kommen. super. danke.

Zitat:

Klingt stark nach Humbug. Zeig doch mal konkret welche Umformungen du meinst damit man dir besser helfen kann... luis Integrationsgrenzen vertauschen. plus unendlich zu minus unendlich

ja das hab ich mir auch nur so zusammengereimt.
also erst mal das wo ich nicht genau weiss was gemacht wird:
$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{ix+y} e^{(ix+y)t} \right]_{-\infty }^{0} + \left[\frac{1}{ix-y} e^{(ix-y)t} \right]_{0 }^{\infty } \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{ix+y}-\frac{1}{ix-y} \right] \end{eqnarray*}$

15.02.2010, 16:27

giles

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Uh, ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und die Grenzen werden für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eingesetzt?
In dem Fall ist das ja kein Mysterium. Du weißt ja dass $\begin{eqnarray*} \exp(0) = 1 \end{eqnarray*}$ also musst du dir nur noch klar machen wieso
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to -\infty} \exp((ix+y)t)=0 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \exp((ix-y)t)=0 \end{eqnarray*}$

Tipp: Betrachte dazu die Norm.

15.02.2010, 16:53

luis

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Zitat:

Uh, ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und die Grenzen werden für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eingesetzt?

ja richtig. ich bin so faul. sorry.

das $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to -\infty} \exp((ix+y)t)=0 \end{eqnarray*}$ is klar.
und bei
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \exp((ix-y)t)=0 \end{eqnarray*}$
hab ich mir halt das überlegt , was du humbug genannt hast weil ein exp[unendlich] ja unendlich ist und ich nicht viel damit anfangen kann.
wenn ich aber bisschen besser drüber nachdenke ist jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} e^{(ix-y)t}= e^{ixt} e^{-yt} = e^{\infty } e^{-\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ für t gegen unendlich. richtig?

15.02.2010, 17:00

giles

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Zitat:

Original von luis
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \exp((ix-y)t)=0 \end{eqnarray*}$
hab ich mir halt das überlegt , was du humbug genannt hast weil ein exp[unendlich] ja unendlich ist und ich nicht viel damit anfangen kann.
wenn ich aber bisschen besser drüber nachdenke ist jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} e^{(ix-y)t}= e^{ixt} e^{-yt} = e^{\infty } e^{-\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ für t gegen unendlich. richtig?

Um Himmels willen. Erst mal ist $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ periodisch für rein imaginäre Argumente und zweitens solltest du mittlerweile nicht mehr so naiv an Grenzwerte rangehen...
So gesehen bezweifle ich auch immer mehr dass

Zitat:

das $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to -\infty} \exp((ix+y)t)=0 \end{eqnarray*}$ is klar.

dem wirklich so ist.
Bedenke beide Grenzwerte mal gründlich und "vielleicht" solltest du dabei ja meinen Tipp benutzen...

15.02.2010, 17:12

luis

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also das mit dem periodischen $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ seh ich ein.
deinen Tipp versteh ich nicht. was ist die "norm".
Wenn du mir wirklich helfen willst wäre es glaub ich besser mir mal zu sagen wies richtig geht anstatt dauernd vor entsetzen die hände überm kopf zusammenzuschlagen. das hilft mir nicht und motivierend ist das auch nicht grade.

15.02.2010, 18:56

giles

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Zitat:

anstatt dauernd vor entsetzen die hände überm kopf zusammenzuschlagen

Ein mal? Wenn du in eine Grenzwertberechung einfach "unendlich" anstatt der Variable einsetzt und dann "unendlich mal 0 gleich 0" ausrechnest halte ich das ausnahmsweise für angemessen.
Man definiert die Norm einer komplexen Zahl z durch $\begin{eqnarray*} ||z|| \equiv |z| = \sqrt{z\cdot \overline{z}} \end{eqnarray*}$
hätte man übrigens auch durch kurze Recherche herausfinden können.
Eine Eigenschaft der Norm ist dann auch $\begin{eqnarray*} ||z||=0 \Rightarrow z=0 \end{eqnarray*}$
Ihr hattet bestimmt in der Vorlesung dass $\begin{eqnarray*} |e^{ix}|=1 : \forall x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wenn nicht, dann mache es dir gerade mit der Funktionalgleichung klar.
Jetzt guck dir mal
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to -\infty} |\exp((ix+y)t)| \end{eqnarray*}$
an und benutze dass
$\begin{eqnarray*} \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C} : |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| \end{eqnarray*}$

15.02.2010, 19:01

luis

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Ich weiss nicht ob giles jetzt "vielleicht" beleidigt ist oder einfach keine zeit mehr hat aber kann mir "vielleicht" sonst irgendwer helfen?

meiner meinung nach ist mein ansatz $\begin{eqnarray*} e^{(ix-y)t}= e^{ixt} e^{-yt} = e^{\infty } e^{-\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ nur in soweit falsch, dass $\begin{eqnarray*} e^{ixt} \end{eqnarray*}$ periodisch ist. was aber doch nichts an dem ergebnis 0 ändert oder?
und wo bin ich hier "naiv" an grenzwerte rangegangen?

danke an alle die, obwohl sie so krasse genies sind, mir das erklären können ohne überheblich zu werden. wenn ich nicht so supernaiv wäre würde ich hier keine fragen sondern antworten posten.

grüße

edit: oh das war ein gleichzeitiger post smile

15.02.2010, 19:21

luis

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Zitat:

und wo bin ich hier "naiv" an grenzwerte rangegangen?

ok. also ich darf nicht einfach unendlich für die variable einsetzen. ich bin noch nicht so fit in mathe und deswegen war das vielleicht echt naiv im sinne von "nicht total mathematisch". ich studier auch physik und wir nehmens da nciht so genau smile

dass eine beliebig große zahl mal 0 immer 0 ist glaube ich stimmt aber trotzdem.

15.02.2010, 19:30

giles

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Zitat:

Original von luis
ok. also ich darf nicht einfach unendlich für die variable einsetzen. ich bin noch nicht so fit in mathe und deswegen war das vielleicht echt naiv im sinne von "nicht total mathematisch". ich studier auch physik und wir nehmens da nciht so genau smile

Dito, die Ausrede zählt nicht!

Zitat:

dass eine beliebig große zahl mal 0 immer 0 ist glaube ich stimmt aber trotzdem.

Ist dem so? Na dann stimmt ja auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} x = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{x}= \lim_{x\to \infty} x^2 \frac{1}{x} = \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Guck mal ob dich das mit dem Betrag zum Ziel führt.

15.02.2010, 20:30

luis

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ja also ich hab jetzt keine zeit mehr rätsel zu raten. mit meiner vorgehensweise komm ich auch auf das richtige ergebnis. falls doch noch jemand lust hat mir zu erklären ob, und wo ich falsch liege ohne mir zusatzaufgaben über "normen" etc. aufzubrummen wär ich trotzdem dankbar.
grüße
luis

15.02.2010, 20:44

giles

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to -\infty} |\exp((ix+y)t)|=\lim_{t \to -\infty} |\exp(ix)\exp(yt)|=\lim_{t \to -\infty} |\exp(ix)||\exp(yt)|=\lim_{t \to -\infty} \exp(yt)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} |\exp((ix-y)t)|= \lim_{t \to \infty} |\exp(ix)||\exp(-yt)|= \lim_{t \to \infty} \exp(-yt)=0 \end{eqnarray*}$

Im Gegensatz zu deiner "Lösung" ist $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{ixt} \end{eqnarray*}$ nämlich nicht " $\begin{eqnarray*} e^{\infty} \end{eqnarray*}$ ".

Alles natürlich nur falls y>0, sonst ist das sowieso falsch.

Für die Zunkunft wünsche ich dir, dass du trotz deiner Neigung dazu sofort die Flinte ins Korn zu werfen und zu schmollen, sowie deiner Affinität zu komplett falschen Pseudolösungen (kurz: deiner intellektuellen Faulheit) gut durchs Studium kommst.

15.02.2010, 21:38

luis

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alles klar.
wir sind schon zwei streithähne smile

trotzdem danke für deine mühe. habs verstanden.

Zitat:

Im Gegensatz zu deiner "Lösung" ist $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{ixt} \end{eqnarray*}$ nämlich nicht " $\begin{eqnarray*} e^{\infty} \end{eqnarray*}$ ".

hab ich schon gesehen:

Zitat:

meiner meinung nach ist mein ansatz $\begin{eqnarray*} e^{(ix-y)t}= e^{ixt} e^{-yt} = e^{\infty } e^{-\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ nur in soweit falsch, dass $\begin{eqnarray*} e^{ixt} \end{eqnarray*}$ periodisch ist. was aber doch nichts an dem ergebnis 0 ändert oder?

was lernen wir daraus? 0 mal irgendwas ist und bleibt 0... egal wie überaus geil man auf die mathvorlesungen ist Augenzwinkern

danke für die guten wünsche.
beste grüße

luis

15.02.2010, 22:24

gonnabphd

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Ein Wort der Bewunderung an giles! Also ich hätt's nicht erklärt, wenn mir einer so gekommen wär. unglücklich

Und das Schlussstatement sagt ja eigentlich alles aus über das (unendliche?) Ausmass an totaler Ignoranz.

Ein Wort der Warnung an luis ist wohl angebracht, denn Physik kann nicht existieren und kann nicht richtig verstanden werden, ohne ein starkes mathematisches Fundament.

Dazu ein Zitat des grossartigen Physikers und Menschen - Richard P. Feynman:

Zitat:

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht.
Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

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