untersuchung von funktionen (min, max, sattelpunkt, tangente, ...)

15.02.2010, 19:50

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

untersuchung von funktionen (min, max, sattelpunkt, tangente, ...)

hallo!

ich hab ein problem mit dem thema "untersuchung von funktionen".

wir sollten maximum, minimum, nullstellen, sattelpunkt und wendepunkte berechnen und zeichnen!

das zeichnen wär ja eig. ein kinderspiel, aber mit dem rest happerts!

also z.b. bei der rechnung:
$\begin{eqnarray*} y = x^{3}-3x \end{eqnarray*}$

die ableitungen lauten:

$\begin{eqnarray*} y' = 3x^{2}-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6x \end{eqnarray*}$

soweit hab ich's!

dann die nullstellen berechnen:

$\begin{eqnarray*} x^{3}-3x=0 \end{eqnarray*}$
das kann man herausheben
$\begin{eqnarray*} x(x^{2}-3) \end{eqnarray*}$

1. nullstelle: x1 = (0/0)
2. nullstelle: x2 = (1,5/0)

zu minimum und maximum:
$\begin{eqnarray*} y' = 3x^{2}-3 \end{eqnarray*}$
herausgehoben:
$\begin{eqnarray*} 3(x^{2}-1)=0 \end{eqnarray*}$

okay die minimumstelle ist x=1 => also (1/-2)
das ist mir alles noch so halbwegs klar.
aber wie komm ich auf das maximum???
(laut lösung wäre das (-1/2)!)

wendepunkte:
$\begin{eqnarray*} y'' = 6x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x = 0 \end{eqnarray*}$
also wendepunkte wäre (0/0)

nun zum sattelpunkt!

was ist das überhaupt - hat das etwas mit der tangente zu tun?
ich weiß auch überhaupt nicht wie man drauf kommt!!! unglücklich

unglücklich

könnt ihr mir das alles allgemein noch mal erklären, bitte!?
ich habe zwar andere themen durchforst, aber ich glaube für dieses thema bin ich einfach zu blöd!

gruß
manu

15.02.2010, 20:03

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

nun zum sattelpunkt!

was ist das überhaupt - hat das etwas mit der tangente zu tun?

So flachs mal ausm arm geschüttelt Wenn f'(x1) = 0 und f'(x) "links" und "rechts" neben x1 positiv bzw negativ

Anschaulich gesprochen besitzt f(x) dort einen Sattelpunkt, wo Anstieg erst positiv(respektive negativ), dann 0, und dann wieder positiv(respektive negativ) wird. Ich versteh das am einfachsten beim Anschaun der f(x)=x^3 für x=0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

herausgehoben:

$\begin{eqnarray*} 3(x^2-1) \end{eqnarray*}$

okay die minimumstelle ist x=1 => also (1/-2)

Schau dir das bitte nochmal an.

Nein, ich habe deine Rechnungen nicht alle überprüft, hört sich aber an als hättest du die Prinzipien schon verstanden.

15.02.2010, 20:15

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Anschaulich gesprochen besitzt f(x) dort einen Sattelpunkt, wo Anstieg erst positiv(respektive negativ), dann 0, und dann wieder positiv(respektive negativ) wird. Ich versteh das am einfachsten beim Anschaun der f(x)=x^3 für x=0

ich versteh nicht was da falsch sein soll?!!!

wenn ich das maximum ausrechnen möchte, könnte ich nicht einfach schreiben:
$\begin{eqnarray*} 3(x^{2}+1) \end{eqnarray*}$

ich mach statt dem plus einfach ein minus (weil maximum in die höhe "schießt" und damit "positiv" sein muss?)

dann würd rauskommen (-1/2)

geht das auch?

das mit dem sattelpunkt versteh ich trotzdem nicht so ganz.

15.02.2010, 20:23

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wenn ich das maximum ausrechnen möchte, könnte ich nicht einfach schreiben:

ich mach statt dem plus einfach ein minus (weil maximum in die höhe "schießt" und damit "positiv" sein muss?)

Hast du grad geschrieben das,

$\begin{eqnarray*} x^2+1 = x^2-1 \end{eqnarray*}$ ???

Tut mir leid und ansonsten kann ich dir nicht folgen! Ich habe dich nur drauf hingewiesen, dass du dir die Zeile(n) bitte nochmal genau anschauen solltest, denn 100% korrekt ist das noch nicht(wie du ja selbst gemerkt hast!

Zitat:

das mit dem sattelpunkt versteh ich trotzdem nicht so ganz.

Andere Formulierung: Die Monotonie hat eine Nullstelle, bleibt aber positiv oder negativ - sie wechselt halt nicht das Vorzeichen. Sattelpunkt nennt man das Ganze wohl, der z.B. x^3 in x=0 aussieht wie ein Sattel...

15.02.2010, 20:30

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

okay , den sattelpunkt hab ich verstanden (endlich!)

aber minimum und maximum bin ich radloser den je!
ich seh meinen eigenen fehler einfach nicht! unglücklich

unglücklich

15.02.2010, 20:33

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

okay , den sattelpunkt hab ich verstanden (endlich!)

Freude

Zitat:

aber minimum und maximum bin ich radloser den je!
ich seh meinen eigenen fehler einfach nicht!

Das kriegen wir auch noch hin:

Was haben wir?

$\begin{eqnarray*} x^2-1 = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt's? Das zeichne dir mal auf ein Blatt Papier und versuch die Gleichung nachzuvollziehen!

Bilder wirken hier Wunder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

15.02.2010, 20:46

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: untersuchung von funktionen (min, max, sattelpunkt, tangente, ...)

Zitat:

Original von manu93
dann die nullstellen berechnen:

$\begin{eqnarray*} x^{3}-3x=0 \end{eqnarray*}$
das kann man herausheben
$\begin{eqnarray*} x(x^{2}-3) \end{eqnarray*}$

1. nullstelle: x1 = (0/0)
2. nullstelle: x2 = (1,5/0)

Sry, dass ich mich einmische, aber die 2. Nullstelle würd ich nochmal überdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2010, 20:53

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sry, dass ich mich einmische, aber die 2. Nullstelle würd ich nochmal überdenken

aaahhhh!
hab verstanden
die 2. nullstelle ist x(2) = 1,7321, oder?

15.02.2010, 21:01

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab wie gesagt die anderen Rechnungen nicht überprüft Augenzwinkern

Augenzwinkern

Konntest du x^2-1= jetzt lösen manu93?

15.02.2010, 21:11

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

nö!

wie kommt man auf ein maximum das eigentlich nur das gegenteil vom minimum ist?

die lösung T=(1/-2) und die H=(-1/2).
kann man dann nicht einfach die vorzeichen vertauschen?

ich meine bei 3x-3 komt der punkt T=(1/-2) raus
und wenn ich das vorzeichen vertausche (also plus statt minus schreibe) 3x+3 dann kommt H=(-1/2) raus.
passt das nicht?

15.02.2010, 21:20

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du haust hier Sachen durcheinander, die nicht verwechselt werden dürfen!
"Gegenteile von Maxima oder Minima" kenn ich nicht.

Fakt ist!

f(x) hat ein potentielles Extremum dort, wo f'(x)=0 wird(die Stelle nen ich jetzt mal x1), also dort wo die erste Ableitung 0 ist kanns ein Extremum geben. Das Überprüfen ob f(x) bei x1 ein Extremum hat, kann man über das Vorzeichenwechselkriterium machen(du errätst es bestimmt,

f'(x) ist vor x1 positiv, nach x1 negativ -> f(x) hat in x0 ein Maximum
f'(x) ist vor x1 negativ, nach x1 positiv -> f(x) hat in x0 ein Minimum

oder über das Einsetzen in die 2. Ableitung.

f''(x1) >0 -> f(x) hat ein Minimum in x0
f''(x1) <0 -> f(x) hat ein Maximum in x0

Also brauchst du jetzt einfach die Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} 3(x^2-1) = 0 \end{eqnarray*}$

berechnen und dann überprüfen ob die Nullstellen von f'(x) wirklich Extrema von f(x) sind.
Kleiner Tipp, schau dir nochmal die binomischen Formeln an!

15.02.2010, 21:32

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du dann, dass $\begin{eqnarray*} 3(x^{2}-2x+1) \end{eqnarray*}$ da stehn müsste?

und da das ne quadratische gleichung ist muss ich dann diese formel verwenden:
$\begin{eqnarray*} \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c } }{2*a} \end{eqnarray*}$

..., oder?

15.02.2010, 21:34

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nochmal die binomischen Formeln pauken!

Hier steht:

$\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Hier mal der Schubs in die richtige Richtung.

$\begin{eqnarray*} (x+1)(x-1)=x^2-1 \end{eqnarray*}$

Und nun einsetzen, erkennen, handeln Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2010, 21:43

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so ... NA KLAR!
ich versteh's Freude

Freude

3(x-1)(x+1)=0

das heißt .... x(1) = 1 und x(2) = -1 ... ich checks!!!!

danke! Freude

Freude

ich bin ja sooooooo doof Hammer

Hammer

wieso hab ich das nicht gesehn?

15.02.2010, 21:45

MrPink86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist halt manchmal so Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wenn man viel Mathe hinter sich hat werden die Fehler weniger!

Wenn du sonst noch Fragen hast, immer her damit - ansonsten gute Nacht!

PS: Ehm also f'(-1)=f'(1)=0 meintest du hoffentlich oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2010, 21:49

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das meinte ich so smile

smile

danke nochmal für die geduld!

gute nacht

16.02.2010, 02:11

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von manu93

Zitat:

Sry, dass ich mich einmische, aber die 2. Nullstelle würd ich nochmal überdenken

aaahhhh!
hab verstanden
die 2. nullstelle ist x(2) = 1,7321, oder?

Da ich mal davon ausgehe, dass $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das nur die halbe Wahrheit.

Zum einen würde ich $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ schreiben und nich als 1,73...

Und zum anderen gibts noch ne 3. Nullstelle =)

(da sieht man auch die Extremstellen recht schön)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »