Quotientenkriterium für unendliche Reihen

15.02.2010, 22:14	dunki	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenkriterium für unendliche Reihen Folgende Reihe ist gegeben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty ( (n^{2} + 1) (n+1) (n+3) x^{n} ) / ( (n+2) (x^{3} + 1) 20^{n} ) \end{eqnarray}$ Mit dem Quotentenkriterium folgt $\begin{eqnarray} \| \frac{(n+1)^{2} + 1) (n+2) (n+4) x^{n+1} (n+2) (n^{3}+1) 20^{n} }{ (n^{2} + 1) (n+1) (n+3) x^{n} (n+3) ( (n+1)^{3} + 1) 20^{n+1} } \| \end{eqnarray}$ nun stehe ich vor dem Problem, dass der Grad ja anscheinend gleich ist. Wie würde man hier weitermachen?
15.02.2010, 22:24	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenkriterium für unendliche Reihen Einmal wird aus x ein n, das andere Mal nicht. Bitte nochmal überprüfen.
15.02.2010, 22:33	dunki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenkriterium für unendliche Reihen Danke für den Hinweis. Habe es von Papier abgeschrieben und bei dem Formelgenerator hier im Forum nicht aufgepasst. Hoffe, es passt jetzt. Außer den n's steht da nur x^{n} im Zähler und 20^{n} im Nenner. => $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty ( (n^{2} + 1) (n+1) (n+3) x^{n} ) / ( (n+2) (n^{3} + 1) 20^{n} ) \end{eqnarray}$ Mit dem Quotentenkriterium folgt $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{2} + 1) (n+2) (n+4) x^{n+1} (n+2) (n^{3}+1) 20^{n} }{ (n^{2} + 1) (n+1) (n+3) x^{n} (n+3) ( (n+1)^{3} + 1) 20^{n+1} } \| \end{eqnarray}$
15.02.2010, 22:53	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die x-Potenzen kannst du vereinfachen, dann musst du noch n gegen unendlich laufen lassen.
15.02.2010, 23:09	dunki	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \| = \frac{\|x\|}{20} \end{eqnarray}$ d.h. absolute Konvergenz für \|x\|<20, Divergenz für \|x\|>20 in dem Fall? Wenn man n gegen unendlich laufen lässt sollte es ja von der Theorie her egal sein, ob dort n+1 oder n+2 steht, oder muss ich zusätzlich etwas beachten?
15.02.2010, 23:12	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo stimmt. Eigentlich musst du nur Zähler- und Nennergrad vergleichen. Ob da jetzt +1 oder +2 steht, spielt zumindest für Polynome keine Rolle, wenn n gegen unendlich geht. Um es korrekt hinzuschreiben, müsste man die höchste Potenz ausklammern, kürzen und anschließend hat man lauter kleine Brüche im Zähler und Nenner, wo jeweils eine n-Potenz drinsteckt und diese werden dann 0. Im Endeffekt kommt es auf die Koeffizienten der höchsten Potenz an.
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15.02.2010, 23:40	dunki	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dankeschön!

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