Komplexe Zahl berechnen

16.02.2010, 14:18

zosch

Komplexe Zahl berechnen

Hallo,
habe folgende Frage, bei der ich mir nicht ganz sicher bin:

Ich habe folgende Zahl bei der der Real- und Imaginärteil berechnet werden soll, sowie Betrag und Argument.

$\begin{eqnarray*} z = \left( 1+i\right)^{10} - \left(1-i\right)^{10} \end{eqnarray*}$

Aus dieser zusammen gesetzten Zahl habe ich zuerst die Polarkoordinatenform gebildet um die Potenzen zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2}^{10} \cdot \left(cos \left(10 \cdot - \frac{3}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left( 10 \cdot - \frac{3}{4} \pi \right) \right) - \sqrt{2}^{10} \cdot \left(cos \left(10 \cdot - \frac{1}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left( 10 \cdot - \frac{1}{4} \pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

Dies ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \frac{30}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left(- \frac{30}{4} \pi \right) \right) - 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \frac{10}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left( - \frac{10}{4} \pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

Dann ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \frac{30}{4} \pi + \frac{10}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left( - \frac{30}{4} \pi +\frac{10}{4} \pi \right) \right)<br /> \end{eqnarray*}$

Dies ausgerechnet und unter Beachtung der 2Pi-Periodität führt zu:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \pi \right)+ i \cdot sin \left( - \pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

Und das ausgerechnet zu:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt oder mache ich einen Denkfehler?

Vielen Dank, Gruß mg

16.02.2010, 14:26

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl berechnen
Welche Polarkoordinatenform hast du für 1 + i genommen?

16.02.2010, 14:28

zosch

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Hi,

also Wurzel aus 2 (Da Wurzel aus der Addition beider Quadrate) als Radius,
dann als Argument den Tangens von 1.
Danke, Gruß mg

edit: Und ich sehe schon es müsste nur 1 / 4 Pi sein...

16.02.2010, 14:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von zosch
edit: Und ich sehe schon es müsste nur 1 / 4 Pi sein...

OK. Also das ganze nochmal mit dem richtigen Argument. Augenzwinkern

16.02.2010, 14:36

zosch

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Hi,
müsste dann folgendes rauskommen:

Es ändert sich ja lediglich das Vorzeichen von 20/4 Pi.

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \cdot \left(cos \left( \pi \right)+ i \cdot sin \left( \pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

Und das ausgerechnet zu:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \end{eqnarray*}$

16.02.2010, 14:51

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl berechnen
Erstmal ist cos(pi) = -1. Aber dann ist noch an deiner Rechnung folgendes schräg:

Zitat:

Original von zosch
Dies ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \frac{30}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left(- \frac{30}{4} \pi \right) \right) - 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \frac{10}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left( - \frac{10}{4} \pi \right) \right) \end{eqnarray*}$

Dann ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} z = 2^{5} \cdot \left(cos \left(- \frac{30}{4} \pi + \frac{10}{4} \pi \right)+ i \cdot sin \left( - \frac{30}{4} \pi +\frac{10}{4} \pi \right) \right)<br /> \end{eqnarray*}$

Ich kann mir nicht erklären, wie du von dem oberen zum unteren gelangst.

16.02.2010, 15:02

zosch

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Ich dachte ich kann bei komplexen zahlen aus z = x + i * y - ( a + i * b) einfach
z = x - a + i * (y - b) machen. Dann einfach nur das Wurzel a ausgeklammert sowie die cos/sin.

16.02.2010, 15:29

klarsoweit

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Wie muß man das bei cos bzw. sin verstehen? Etwa cos(a + b) = cos(a) + cos(b) ? verwirrt

16.02.2010, 21:54

zosch

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Hi, danke für deine antwort. ja war ziemlicher mist Augenzwinkern

Hab das nochmal überarbeitet, ist auch alles klar jetzt.

Danke Dir!

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