(LinAlg) LGS mit Parameter - Lösungsmenge ergibt Gerade

16.02.2010, 16:17

Jemus42

(LinAlg) LGS mit Parameter - Lösungsmenge ergibt Gerade

Holladri,
ich hänge da etwas an einer Lineare-Algebra-Aufgabe...
Grobe Einordnung: Jahrgang 12/13, LGS und geometrische Interpretationen selbiger.

Gegeben ist das LGS:

$\begin{eqnarray*} 5x_1 + 10x_2 + 5x_3 = -5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -5x_2 -2x_3 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1 + x_2 + k \cdot x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

An sich ja nichts weltbewegendes.. man löst das auf, per Matrix in Diagonalform oder solve-Befehl in einem CAS (an meiner Schule ist der TI-v200 Unterrichtsmittel)

Ich bekomme jedenfalls heraus, dass:
$\begin{eqnarray*} x_1= 1 \text{ und } x_2= -1 \text{ und } x_3=0 \end{eqnarray*}$

...Aufgabe ist, die Lösungsmengen abhängig von k darzustellen, und die Lösungsmenge für k= -1 als Geradengleichung zu interpretieren und mit einer gegebenen Gerade für k= -1 zu vergleichen.
Aber: wenn ich das LGS wie oben löse, sollte dann nicht mindestens einer der x-Werte von k abhängig sein?
Wie sonst soll ich die Lösungsmengen abhängig von k bestimmen?

Und wenn ich dann für k= -1 als Lösung bekomme, dass x1 und x2 jeweils von x3 abhängen, der beliebig gewählt werden kann, kann ich mir daraus jenes basteln:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t+1 \\ -t -1 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
...Danebst die vorgegebene Gleichung für k= -1:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
...Während ich dies schreibe, fällt mir auf, dass sich aus meiner Lösung die untere Gleichung ja doch konstruieren lässt. Ok, der Teil fällt dann damit schonmal weg. (Kennt ihr das, wenn ihr ewig an etwas herumtüftelt und es keinen Sinn zu machen scheint, und die Lösung dann so offensichtlich ist, dass es fast wehtut? smile

)

(Anbei: Weiter geht's in der Aufgabe dann mit einer Ebene, Schnittpunkten, Spurgerade, orthogonalen Spiegelungen an der Ebene, Projektionen... Ich befürchte fast, mich damit nochmal melden zu müssen smile

Tut mir jetzt Leid, wenn das etwas unstrukturiert ist, aber ich bastel daran seit gestern rumt. Ich durchsuche derweil mal meine Unterlagen aus letztem Jahr, in der Hoffnung etwas hilfreiches zu finden.
Danke im Voraus für Ansätze, Vorschläge, Korrekturen & sowas smile

Gruß,
Lukas

16.02.2010, 17:10

corvus

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RE: (LinAlg) LGS mit Parameter - Lösungsmenge ergibt Gerade
^

Zitat:

Gegeben ist das LGS:

$\begin{eqnarray*} 5x_1 + 10x_2 + 5x_3 = -5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_1 -5x_2 -2x_3 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1 + x_2 + k \cdot x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Ich bekomme jedenfalls heraus, dass:

$\begin{eqnarray*} x_1= 1 \text{ und } x_2= -1 \text{ und } x_3=0 \end{eqnarray*}$ unglücklich

das ist nur richtig , wenn k nicht -1 ist...
im vorletzten Schritt erhätst du nämlich die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x_1*(5+5k)= 5+5k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2*(5+5k)= -5-5k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3*(5+5k)= 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt solltest du ja darüber nachdenken, wie es da weiter geht,
wenn k= -1 ist Wink

16.02.2010, 18:41

Jemus42

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Ja..ok, das macht Sinn Big Laugh

Ich erwartete nur irgendwie, dass das Ergebnis im TI schon diese Bedingung, dass k! = -1 sein muss, verwurstet hat, weil ich so spontan dann nicht ausschließen konnte, dass es noch andere Ausnahmen gibt.
Aber gut, danke, das beweist mir mal wieder, dass es manchmal nicht schadet sowas auch "manuell" zu durchschauen... smile

Komme mit dem Rest bisher einigermaßen klar smile

16.02.2010, 22:50

Jemus42

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Einen weiteren Aufgabenteil hätte ich dann noch (der letzte übrigens smile

):
Zeigen sie, dass die Matrix M eine orthogonale Spiegelung an der Ebene E darstellt.

Die Matrix als solche und die Ebene sind gegeben, eine Gerade g die gespielt wird ist auch vorhanden, die tippe ich aber erst morgen ab (es ist spät und ich hab jetzt 5 Stunden Mathe gemacht... Augenzwinkern

)

Meine eigentliche Grundsatzfrage: Wie soll ich mir eine orthogonale (=senkrechte) Spiegelung an der Ebene vorstellen in Vergleich zu einer 'normalen' Spiegelung an der Ebene?

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