Mengen, abgeschlossen oder offen

16.02.2010, 16:53

Gugi

Mengen, abgeschlossen oder offen

Hallo allerseits,

ich habe da eine Frage, deren Beantwortung mir sehr helfen könnte. Und zwar: Gegeben habe ich eine Menge $\begin{eqnarray*} U=\left\{x\in R^{5}:x_{1} x_{2}- x_{3} x_{4} x_{5}^2>2\right\} \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist ob diese Menge abgeschlossen bzw. offen ist.
Mein Lösungsvorschlag:
U ist offen, da ich für jedes Element aus U eine epsilon-Umgebung basteln kann, sodass diese noch eine Teilmenge von U ist.
U ist nicht abgeschlossen, denn wäre U abgeschlossen müsste $\begin{eqnarray*} U^{'}=\left\{x\in R^{5}:x_{1} x_{2}- x_{3} x_{4} x_{5}^2\leq2\right\} \end{eqnarray*}$ offen sein, was ber nicht der Fall ist.

Frage: Stimmen meine Überlegungen? Kann man diese Aufgabe schneller lösen?

LG,

Gugi

16.02.2010, 17:58

giles

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Ähm, welche Überlegungen? Du hast nur einmal wiederholt, was Offenheit formal bedeuten würde. Deine Antworten sind "Es ist offen, weil es offen ist." bzw. "Es ist nicht abgeschlossen, weil es nicht abgeschlossen ist."
Gibts dazu noch einen Beweis oder...?

16.02.2010, 18:38

tmo

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RE: Mengen, abgeschlossen oder offen

Zitat:

Original von Gugi
Frage: Stimmen meine Überlegungen? Kann man diese Aufgabe schneller lösen?

Es gibt eine Aussage, die folgendes besagt:

Sei T ein topologischer Raum und $\begin{eqnarray*} f: T \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Dann ist für jedes reelle c die Menge $\begin{eqnarray*} M = \{ x \in T | f(x) > c \} \end{eqnarray*}$ offen.

16.02.2010, 20:33

Gugi

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das war ja gerade meine Frage. Kann man so argumentieren. Aber anscheinend nicht. Ich weiß wirklich nicht wie ein Beweis aussehen könnte. Könntest du mir auf die Sprünge helfen?

Danke

17.02.2010, 11:13

system-agent

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tmo hat es dir schon verraten, deine Menge ist offen, nun musst du das beweisen.
Zeige dazu, dass $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.
Was gilt denn für eine konvergente Folge in einer abgeschlossenen Menge [in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ ]?

17.02.2010, 11:55

Gugi

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Okay also ist die Menge U offen. $\begin{eqnarray*} U^{'}=\left\{x\in \mathbb R^{5}: x_{1} x_{2}- x_{3} x_{4} x_{5}^2\leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen. Jede abgeschlossene Menge enthält den Grenzwert jeder konvergenten Folge. Ist folgende Überlegung richtig?
Wenn ich eine Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} \in U^{'} \end{eqnarray*}$ habe die gegen einen Punkt x Element aus R^5 konvergiert, dann konvergieren auch die einzelnen Komponenten der Folge gegen die einzelnen Komponenten von x. D.h. habe ich eine Folge $\begin{eqnarray*} \vec{x_{n}}=\begin{pmatrix} x_{n_{1}} \\ x_{n_2} \\ x_{n_3}\\x_{n_4}\\x_{n_5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n_1}=x_{1} \end{eqnarray*}$ usw....Da R^5 eine Banachalgebra ist, gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n_1}x_{n_2}-x_{n_3}x_{n_4}x_{n_5}^2=x_1x_2-x_3x_4x_5^2 \end{eqnarray*}$ Da aber $\begin{eqnarray*} x_{n} \in R^5 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} x_{n_1}x_{n_2}-x_{n_3}x_{n_4}x_{n_5}^2\leq 2 \end{eqnarray*}$ gelten aufgrund der Gleichheit gilt aber auch $\begin{eqnarray*} x_1x_2-x_3x_4x_5^2 \leq 2 \end{eqnarray*}$ also liegt der Grenzwert auch in U'. Demnach ist U' abgeschlossen.

Ich hoffe diese Argumentation stimmt, aber bin mir nicht sicher.

Lg,

Gugi

17.02.2010, 13:21

system-agent

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Deine Idee ist die Richtige.

Zitat:

Original von Gugi
Da R^5 eine Banachalgebra ist, gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n_1}x_{n_2}-x_{n_3}x_{n_4}x_{n_5}^2=x_1x_2-x_3x_4x_5^2 \end{eqnarray*}$

Was soll das?
Diese Gleichheit gilt, da die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^5\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} (x_1,...,x_5)\mapsto x_1x_2-x_3x_4x_5^2 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Zitat:

Original von Gugi
Da aber $\begin{eqnarray*} x_{n} \in R^5 \end{eqnarray*}$

Du meinst, da $\begin{eqnarray*} \vec{x}_n\in U' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Gugi
muss $\begin{eqnarray*} x_{n_1}x_{n_2}-x_{n_3}x_{n_4}x_{n_5}^2\leq 2 \end{eqnarray*}$ gelten

Ja.

Tatsächlich brauchst du hier, dass $\begin{eqnarray*} f(\vec{x}_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge in $\begin{eqnarray*} (-\infty,c] \end{eqnarray*}$ definiert [Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ] und da $\begin{eqnarray*} (-\infty,c] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert $\begin{eqnarray*} f(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} (-\infty,c] \end{eqnarray*}$ , also .... .

17.02.2010, 13:29

Gugi

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Danke für deine Antwort. Nun fühle ich mich ein bisschen sicherer in der Topologie. Aber eine Frage habe ich noch. Wenn ich die Menge U betrachte und eine Folge aus U hernehme, dann liegt der Grenzwert dieser Folge doch auch in U. Das würde aber bedeuten, dass U abgeschlossen ist, was es aber nicht ist? Ich habe da wirklich ein Verständnisproblem. unglücklich

17.02.2010, 13:32

system-agent

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Ja, das würde es bedeuten. Nur du hast aber eine Folge aus $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ genommen, also dem Komplement von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .
Also hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ ... ist.
Also ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ..., da es das Komplement von $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ ist.

17.02.2010, 14:08

Airblader

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@ system-agent

Ich denke, er hat das Verständnisproblem, dass er genau gleich argumentieren könnte, um zu zeigen, dass U abgeschlossen ist (und nicht U', womit U ja offen ist).

@ Gugi

Denk das nochmal genau durch - es wird nicht funktionieren.

air

17.02.2010, 14:24

system-agent

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OK, dann soll er sich die Folge
$\begin{eqnarray*} x_n:=\left(2+\frac{1}{n},1,0,0,0\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ ansehen.

17.02.2010, 16:50

Gugi

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Danke an alle. Die Frage hat sich mit dem Gegenbeispiel nun geklärt. Ich habe das Gefühl, dass ich es verstehe (womöglich hält dieses Gefühl nur bis zum nächsten Beispiel) Augenzwinkern

Lg,

gugi

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