Obersumme

16.02.2010, 19:30

Sender

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Obersumme

hallo.

Aufgabe ist es, die Obersumme und Untersumme der Funktion
f(x)=x³+2 im Intervall [0;b] zu bestimmen.

ich habe nun angefangen und bin jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} A_{Oges}= \frac{b}{n}\left[ \left(\frac{b}{n}\right)^3 \left(2\frac{b}{n}\right)^3 +...+ \left(n\frac{b}{n}\right)^3+2n\right] \end{eqnarray*}$

jetzt würde ich gerne die 2n aus der Klammer bekommen. Wie mache ich das? Müsste da dann 2b herauskommen? oder ist das überhaupt sinnvoll?
ich könnte ja auch erstmal b/n ausklammern...

16.02.2010, 19:35

wisili

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RE: Obersumme
Ja, wie du vorschlägst:
$\begin{eqnarray*} A_{Oges}= \frac{b}{n}\left[ \left(\frac{b}{n}\right)^3 \left(2\frac{b}{n}\right)^3 +...+ \left(n\frac{b}{n}\right)^3\right] + 2b \end{eqnarray*}$

und dann noch (b/n)^3 ausklammern.

16.02.2010, 19:38

Sender

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hatte ich noch nicht gelesen. aber kannst du mir trotzdem helfen?

hoppala. ja okay. ich weiß nur leider nicht so genau, wie ich auf das 2b komme.. haben das bei einer anderen Funktion ähnlich gemacht. allerdings weiß ich nicht mehr wirklich, wie wir darauf kamen. also eine Freundin hat versucht, es mir zu erklären, aber ich hab es nicht so ganz verstanden...

16.02.2010, 19:44

wisili

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$\begin{eqnarray*} A_{Oges}= \left(\frac{b}{n}\right)^4 \left[ 1^3 + 2^3 + ... + n^3\right]+ 2b \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du wieder dran: Kennst du eine Formel für die Summe der Kubikzahlen?
(Ist das 2b unterdessen geklärt? Man braucht nur das Distributivgesetz.)

16.02.2010, 20:04

Sender

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ehrlich gesagt hab ich grade ein Brett vor'm Kopf, wegen diesen doofen 2b. Ich weiß, das ärgert mich deshalb bisschen.

also die dürfen wir nachgucken.
dann setze ich erstmal ein:

$\begin{eqnarray*} A_{Oges}= \left(\frac{b}{n}\right)^4 \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 2b \end{eqnarray*}$

im Endeffekt komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{2}+\frac{b^4}{2n^2}+2b \end{eqnarray*}$

irgendwie kommt mir das allerdings komisch vor...

16.02.2010, 20:08

wisili

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Der Nenner des ersten Summanden ist 4.
Dein Gefühl, es sei komisch, stört mich nicht. Das hat ja mit dem Ergebnis nichts zu tun ...

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16.02.2010, 20:13

wisili

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RE: Obersumme
Wegen des «2b» nochmal:

$\begin{eqnarray*} A_{Oges}= \frac{b}{n}\left[ \left(\frac{b}{n}\right)^3 + \left(2\frac{b}{n}\right)^3 +...+ \left(n\frac{b}{n}\right)^3+2n\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{b}{n}\left[ \left(\frac{b}{n}\right)^3 + \left(2\frac{b}{n}\right)^3 +...+ \left(n\frac{b}{n}\right)^3\right] + \frac{b}{n}\left[ 2n\right] \end{eqnarray*}$

... heisst distributiv rechnen (Klammer (teilweise!) lösen).

16.02.2010, 20:19

Sender

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der Nenner des 2. Summanden doch auch oder nicht? Ich habe vergessen, die 2 zu quadrieren...

dann muss ich n gegen unendlich laufen lassen und komme auf dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} A_{Oges}=\frac{b^4}{4}+2b \end{eqnarray*}$

danke! klar Forum Kloppe

Forum Kloppe

16.02.2010, 20:25

wisili

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Nein, der zweite Summand war richtig (wegen Doppelprodukt des binomischen Quadrats).
Und es fehlte noch ein Glied (habe ich nicht bemerkt).
Der Limes kommt zu früh; du wolltest ja nicht das Integral berechnen, sondern die Obersumme.

$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{4}+\frac{b^4}{2n^2}+\frac{b^4}{4n^4}+2b \end{eqnarray*}$

16.02.2010, 20:34

Sender

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hmm ok.
ich war mir nicht sicher, wie ich das dann auflöse...

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

allerdings verstehe ich das nun immernoch nicht... ich dachte, ich könnre einfach die Klammer oben auflösen und dann alles quadrieren. muss ich oben dann eine binomische Formel auflösen?

also
(n²+n)² = n^4+2n³+n²
deshalb war ich verunsichert, also wie muss ich das machen? und das mit dem 2 und 4 verstehe ich nicht...

edit: oh doch klar, hab eben nicht weitergerechnet. komme genau auf dein Ergebnis smile

smile

und der limes, den sollten wir auch noch bilden, soweit ich das verstanden habe.

16.02.2010, 20:40

wisili

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Deine letzte Rechnung stimmt. Meine Rechnung kann man auch anders durchführen. Vielleicht hast du es lieber gleichnamig, mit einem einzigen Bruch:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4} \end{eqnarray*}$

Aber man könnte das auch in 3 Brüche zerlegen: $\begin{eqnarray*} \frac{n^4}{4}+\frac{2n^3}{4}+\frac{n^2}{4} \end{eqnarray*}$

16.02.2010, 20:53

wisili

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Zitat:

Original von wisili
$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{4}+\frac{b^4}{2n^2}+\frac{b^4}{4n^4}+2b \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte, das war falsch. Richtig ist (so hoffe ich):

$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{4}+\frac{b^4}{2n}+\frac{b^4}{4n^2}+2b \end{eqnarray*}$

16.02.2010, 20:54

Sender

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ja, okay

Big Laugh

wieso ist
$\begin{eqnarray*} \frac{b^4n^2}{4n^4}=\frac{b^4}{4n^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2b^4n^3}{4n^4}=\frac{b^4}{2n^2} \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

wolltest du mir mit dem in drei brüche zerlegen noch was anderes sagen?

edit: ich bin immer zu langsam. danke

16.02.2010, 20:56

wisili

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Beachte bitte meine soeben gemachte Korrektur. Deine Frage erübrigt sich dann vermutlich. Sorry!

16.02.2010, 21:05

Sender

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ja, hat sie schon, das sollte meine ''Korrektur'' andeuten.
ich hätte nämlich auch das herausbekommmen.

danke Dir! smile

smile

noch eine letzte Frage:
ist folgendes die Untersumme:

$\begin{eqnarray*} A_{Uges}=\frac{b^4}{4}-\frac{b^4}{2n}+\frac{b^4}{4n^3}+2b \end{eqnarray*}$

und ist es immer so, das ein Vorzeichen 'vertauscht' wurde?

16.02.2010, 21:21

wisili

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Der letzte Exponent im Nenner ist nicht 3, sondern 2, sonst stimmt es.
Dass die Aenderung so minim ist, ist keineswegs allgemeingültig.
(Bei Potenzfunktionen mit Intervall [0,b] scheint es aber immer nur auf ein Vorzeichen hinauszulaufen.)

16.02.2010, 21:25

Sender

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ja, richtig (falsch abgeschrieben).

Gaaanz lieben Dank nochmal an dich!

03.10.2010, 10:19

socke22

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Hey
ich hab leider vergessen was b und n war
könntet ihr das nochmal sagen??

wenn ich jetzt ober und untersumme berechne kann ich dann einfach
euer endergebnis nehmen b und n austauschen und dann ausrechnen??

schreib Dienstag ne Arbeit und habe Ober und Untersumme noch nicht ganz verstanden.

Danke schonmal im voraus
GLG

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